Prueba de que las funciones racionales son un campo ordenado, pero no arquimédico - Elementos de análisis real de Bartle

Question

He leído que el conjunto de funciones racionales con coeficientes racionales forma un campo ordenado, y sin embargo no es arquimédico. Intenté buscar esto en Google, pero creo que no entendí la solución.

1. ¿Cómo se define un orden sobre funciones racionales de la forma $\mathbb{Q}(x)=p(x)/q(x)$ ?
2. ¿Cómo se demuestra que $\mathbb{Q}(x)$ ¿es no arquimédico? Que no hay ningún número natural $n$ , de tal manera que $n>\mathbb{Q}(x)$ ? ¿Sustituyo los valores numéricos de $x$ y demostrar que $\mathbb{Q}(x)$ es ilimitado o algo así?

Answer 1

Consideremos el siguiente orden: dejemos $f(x)=p(x)/q(x)$ sea una función racional con

\begin{aligned}p(x)=a\cdot x^n &+ \text{ terms of degree less than $n$}\\ q(x)=b\cdot x^m &+ \text{ terms of degree less than $m$}\end{aligned}

donde por supuesto $a,b \in \mathbb{Q}$ . Nuestra orden dice que $f > 0$ si y sólo si $\frac{a}{b} >0$ . Obsérvese que esto define el orden en todo el campo; si se desea determinar si $f_1 > f_2$ , escriba la diferencia $f_1-f_2$ como una única función racional y determinar si es $>0$ , $=0$ o $<0$ .

Ahora bien, este campo totalmente ordenado no es arquimediano. En efecto, consideremos las funciones racionales $f(x)=x$ y $g(x) = 1$ . No importa el tamaño que elija $n \in \mathbb{N}$ , $f(x)>n\cdot g(x)$ porque $\big(f-n\cdot g\big)(x)=x-n$ y el coeficiente principal de $\big(f-n\cdot g\big)$ es $1$ que es positivo.

Answer 2

La orden es la "dominación eventual": $f(x)\geq g(x)$ si para todo lo suficientemente grande $q\in\mathbb{Q}$ , $f(q)\geq g(q)$ . Hay que trabajar un poco para demostrar que se trata realmente de un orden total sobre funciones racionales. Para una versión más explícita de esta definición, si $f(x)=\frac{ax^n+\dots}{bx^m+\dots}$ (donde los términos omitidos tienen menor grado), entonces $f(x)\geq 0$ si $\frac{a}{b}\geq 0$ . Para determinar si $f(x)\geq g(x)$ Entonces, sólo tienes que escribir $h(x)=f(x)-g(x)$ en la forma $\frac{ax^n+\dots}{bx^m+\dots}$ para determinar si $h(x)\geq 0$ .

Para ver que este orden no es arquimédico, basta con observar que $x>n$ para todos $n\in\mathbb{Z}$ . De hecho, tomando $f(x)=x$ y $g(x)=n$ entonces $f(q)\geq g(q)$ para todos $q\geq n$ . De hecho, se puede demostrar que el orden de dominación eventual es el único pedir en $\mathbb{Q}(x)$ compatible con la estructura del campo para el que $x>n$ para todos $n\in\mathbb{Z}$ . Es decir, si declara que $x>n$ para todos $n\in\mathbb{Z}$ entonces todo el resto de la ordenación puede deducirse de los axiomas del campo ordenado. La intuición es que si $x$ es infinitamente grande, entonces $f(x)$ se comporta como $f(q)$ para los grandes $q$ para que pueda determinar si $f(x)\geq g(x)$ comparando $f(q)$ y $g(q)$ para grandes $q$ .

Answer 3

Para polinomios $f(x),g(x)\in\mathbb{Q}[x]$ definir $f<g$ si y sólo si $f\ne g$ y el coeficiente principal de $g-f$ es positivo.

Es fácil ver que esto define una relación de orden (estricta) sobre $\mathbb{Q}[x]$ compatible con las operaciones, en el sentido de que

1. por cada $f\in\mathbb{Q}[x]$ tiene exactamente una entre $f>0$ , $f=0$ o $0>f$ ;

2. si $f,g,h\in\mathbb{Q}[x]$ y $f<g$ entonces $f+h<g+h$

3. si $f,g,h\in\mathbb{Q}[x]$ , $f<g$ y $0<h$ entonces $fh<gh$ .

Ahora es fácil ver que $0<f$ si y sólo si $-f<0$ por lo que cualquier elemento de $\mathbb{Q}(x)$ puede escribirse como un cociente $f(x)/g(x)$ donde $0<g$ .

Definir, para $f_1(x)/g_1(x),f_2(x)/g_2(x)\in\mathbb{Q}(x)$ con $0<g_1$ y $0<g_2$ , $$ \frac{f_1(x)}{g_1(x)}<\frac{f_2(x)}{g_2(x)} \quad\text{if and only if}\quad f_1(x)g_2(x)<f_2(x)g_1(x) $$ y demostrar que esto define una relación de orden (estricta) con las mismas propiedades anteriores, por lo que $\mathbb{Q}(x)$ se convierte en un campo ordenado.

Ahora, de $q\in\mathbb{Q}$ es obvio que $q<x$ y, por tanto, la orden sobre $\mathbb{Q}(x)$ no es arquimediano. Nótese también que el orden inducido en $\mathbb{Q}$ es la habitual.

Answer 4

La ordenación que he visto es " $f(x) > 0$ si $\exists X\in \Bbb R$ s.t. $x>X$ implica $f(x)>0$ ", es decir, si $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ con $p(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$ y $q(x) = b_mx^m + \cdots + b_1x + b_0$ entonces $f(x) > 0$ si $\frac{a_n}{b_m} > 0$ .

Como siempre, esto significa que $f>g$ si $f-g > 0$ .

No es arquimédico porque si $f(x) = x$ y $g(x) = x^2$ entonces no importa cuántas veces sume copias de $f$ , seguiremos teniendo eso $g$ es mayor.

Answer 5

Un comentario sobre el rigor.

Para los polinomios $p,q$ donde $q(x)$ no es idéntico $0,$ el dominio de $p/q$ debe excluir el conjunto finito de $x$ para lo cual $q(x)=0.$ Si estos son los únicos números reales excluidos de dom $(p/q)$ entonces debemos decir que $p_1/q_1\ne p_2/q_2$ cuando $p_1=q_1=id_R$ y $p_2=q_2=1$ porque dom $(p_1/q_1)\ne$ dom $(p_2/q_2)$ . Que no es lo que queremos decir.

Para los polinomios $p_1, q_1,p_2,q_2$ con $q_1\ne 0\ne q_2,$ y cualquier $S_1,S_2$ tal que $q_1^{-1}\{0\}\subset S_1$ y $q_2^{-1}\{0\}\subset S_2,$ dejar $$(p_1,q_1,S_2)\sim (p_2,q_2,S_2)\iff \forall x\in (R \backslash (S_1\cup S_2)\; (p_1(x)q_2(x)=p_2(x)q_1(x)).$$ Entonces para los polinomios $p,q$ con $q\ne 0$ escribimos $p/q$ para el conjunto de todos los $(p_1,q_1,S_1)$ tal que $$(p,q,R \backslash q^{-1}\{0\})\sim (p_1,q_1, S_1).$$