Los polos y los Ceros en $C=\{[X,Y,Z] \in \mathbb P^2\mathbb C \mid X^4 + XY^3 + Z^4=0\}$$f=\frac X Z$.

Question

Problema: Vamos a $X,Y,Z$ ser homogénea coordenadas en $\mathbb P^2\mathbb C$ y

$$C=\{[X,Y,Z] \in \mathbb P^2\mathbb C \mid X^4 + XY^3 + Z^4=0\}.$$

Deje $f$ ser la función de meromorphic $f=\frac X Z$.

1. Calcular los polos y ceros para $f$ con su orden.
2. Calcular la ramificación de los puntos con su índice, y calcular el género $g$ $C$ el uso de Hurwitz Fórmula.
3. Encontrar 3 linealmente independientes holomorfic diferenciales en $C$.

Pensamientos: he comprobado los derivados y la curva es suave. Por lo tanto $g=(d-1)(d-2)/2=3$, pero se nos pide el uso de Hurwitz Fórmula para encontrar la $g$. Tratamos de encontrar los ceros y polos para $f$: En el gráfico de $Z \not = 0$ nuestra curva es$x^4 + xy^3 + 1=0$$f=X/Z=x$. Necesitamos $x=0$, pero no hay ningún punto de este tipo es en la curva del gráfico. Desde $f$ nos da la primera coordenada $x$, podemos ver que $y^3= \frac{-1-x^4}{x}$ nos da un punto de ramificación iff $RHS=0$, es decir, nos encontramos con $4$ ramificación puntos de índice de 3. Tenemos que comprobar el resto de los puntos con $Z=0$. Es decir, $P=[0,1,0]$ $Q_i=[1,a_i,0]$ $i=1,2,3$ $a_i$ el tercer raíces de $-1$. Buscamos $P$ en el gráfico de $Y\not = 0$. Tenemos que la curva es $x^4 + x +z^4=0$ $f=\frac X Z = \frac X Y \cdot \frac Y Z = \frac x z = \frac {-z^3}{x^3+1}$ el uso de la curva, lo $P$ es un cero de orden 3 $Q_i$ 3 polos de orden 1. Hurwirz Fórmula estados: $$2n + 2g - 2= \sum_{p \in C}(e_p(f)-1).$$ We set $n=3$ because we found $3$ poles, and $RHS=3(1-1)+(3-1)+4\cdot (3-1)$ for the $3$ simple poles, a zero of order 3 and 4 points of ramification. Thus $g=3$.

No sé si esto es correcto en cualquier forma, y cómo resolver la pregunta 3!

Gracias!

Answer 1

Este es un bonito boceto método (al menos yo así lo creo), pero funciona. Nunca he entendido completamente por qué funciona así que si alguien puede aclarar que yo lo aprecio.

Para la pregunta 3, echemos un vistazo a un gráfico, decir $z=1$. Allí, el módulo de diferenciales se genera libremente por $dx$ $dy$ con relación $(4x^3+y^3)dx=-3xy^2dy.$ Ahora, suavidad implica que $4x^3+y^3$ $3xy^2$ no simultáneamente se desvanecen en $C$ en este gráfico, por lo $-\frac{dx}{3xy^2}=\frac{dy}{4x^3+y^3}$ es un holomorphic diferencial sin polos en este gráfico.

Si usted mira su imagen en el gráfico de $y=1$ creo que $\frac{-z^2dx-xzdz}{3x}= \frac{-zdz}{4x^3+1}$. Esto no tiene polos en este gráfico. Puesto que estas dos cartas de cubierta de la curva, esto le da un global de holomorphic diferencial.

Para obtener los otros dos que son linealmente independientes, hacer un truco similar, pero empezar por mirar la relación entre el $dx$ $dz$ en el gráfico de $y=1$, y, a continuación, la relación entre el $dy$ $dz$ en el gráfico de $x=1$. He encontrado que usted consigue tres linealmente independientes de los formularios de esta manera.