La máxima diferencia entre los 2 términos consecutivos en una fila del triángulo de Pascal

Question

Para un determinado$n$$n > 1$, cuando la de abajo alcanzar un máximo? $$F(i) = {n \choose i+1} - {n \choose i} $$

Cómo me acerqué a ella? Empecé teniendo en cuenta la asignación de $g(i)$ $i$ ${n \choose i}$para un determinado $n$. He observado que $F(i)$ describe el cambio en $g(i)$ al $i$ es cambiado por $1$. Por lo tanto, pensé que debe haber otra $h(i)$ que describen los cambios en las $F(i)$ en una unidad de cambio en $i$. Por lo tanto, $$h(i) = F(i+1) - F(i)$$

Así que procedí y sustituido $F(i+1)$ $F(i)$ en función anterior, y establecer $h(i) = 0$. Pero me encontré con que no me dé la respuesta correcta. Yo era consciente de que no estoy utilizando el Cálculo para diferenciar $F(i)$, porque no sé si cómo diferenciar F(i).

Answer 1

$$ \begin{align} F(i)-F(i-1) &=\binom{n}{i+1}-2\binom{n}{i}+\binom{n}{i-1}\\ &=\frac{n!}{(i+1)!(n-i-1)!}-\frac{2n!}{i!(n-i)!}+\frac{n!}{(i-1)!(n-i+1)!}\\[3pt] &=\frac{n![(n-i)(n-i+1)-2(i+1)(n-i+1)+i(i+1)]}{(i+1)!(n-i+1)!}\\ &=\frac{n!\left[4i^2-4ni+(n-2)(n+1)\right]}{(i+1)!(n-i+1)!}\tag{1} \end{align} $$ La fórmula cuadrática dice que $F(i)=F(i-1)$ al $i=\frac{n\pm\sqrt{n+2}}2$. Puesto que el valor en $(1)$ es positivo fuera de $\left[\frac{n-\sqrt{n+2}}2,\frac{n+\sqrt{n+2}}2\right]$ y negativa en el interior, el máximo sería en $\frac{n-\sqrt{n+2}}2$. Por lo tanto, el máximo debe ser el entero más cercano a $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{n-1-\sqrt{n+2}}2}\etiqueta{2} $$

---

Ejemplo: $n=100$: $\frac{99-\sqrt{102}}2=44.45$
$F(45)=\binom{100}{46}-\binom{100}{45}=12022526976678817747184463840$
$\color{#C00}{F(44)=\binom{100}{45}-\binom{100}{44}=12070235417062463849355830760}$
$F(43)=\binom{100}{44}-\binom{100}{43}=11261702901086987802030559800$

---

Ejemplo: $n=101$: $\frac{100-\sqrt{103}}2=44.93$
$F(44)=\binom{101}{45}-\binom{101}{44}=23331938318149451651386390560$
$\color{#C00}{F(45)=\binom{100}{45}-\binom{100}{45}=24092762393741281596540294600}$
$F(46)=\binom{100}{44}-\binom{100}{43}=22965016068927859904787344640$

Answer 2

¿Qué es $F(i+1)-F(i)$? Es $$\begin{align} \binom{n}{i+2}-2\binom{n}{i+1}+\binom{n}{i}&= \binom{n}{i}\left[\frac{(n-i)(n-i-1)}{(i+2)(i+1)}-2\frac{n-i}{i+1}+1\right] \\ &=\binom{n}{i}\frac{(n-i)(n-i-1)-2(n-i)(i+2)+(i+2)(i+1)}{(i+2)(i+1)}\\ &=\binom{n}{i}\frac{n^2-(4i+3)n+4i^2+8i+2}{(i+2)(i+1)}. \end{align} $$ Esto no parece un factor muy bien, por desgracia. Pero va a cambiar de signo dos veces, una vez cuando la $F(i)$ comienza a disminuir y la otra vez cuando comienza a aumentar (pero por $F(i)$ será negativo).

Answer 3

$$F(i) = {n \choose i+1} - {n \choose i} $$ $$F(i) = n!\left[\frac{1}{(i+1)!(n-(i+1))!}-\frac{1}{i!(n-i)!}\right] $$ $$F(i) = \frac{n!}{i!(n-(i+1))!}\left[\frac{1}{(i+1)}-\frac{1}{(n-i)}\right] $$$$F(i)=\frac{n!}{\Gamma(i+1)\Gamma(n-(i+1)+1)}\left[\frac{1}{(i+1)}-\frac{1}{(n-i)}\right] $$ Así, $$F(i)=\left[\frac{n!}{\Gamma(i+1)\Gamma(n-i)}\right]\left[\frac{1}{(i+1)}-\frac{1}{(n-i)}\right] \hspace{10mm} (1)$$ Vamos $$G(i)=\left[\frac{n!}{\Gamma(i+1)\Gamma(n-i)}\right]; J(i) = \left[\frac{1}{(i+1)}-\frac{1}{(n-i)}\right]$$

Notas:

• $n!=\Gamma(n+1)$, es decir, utilizamos la función Gamma.
• Queremos que la derivada de la factorial en números enteros. Véase: Derivados de un factorial
• $H_n$ $n^\text{th}$ Número Armónico
• $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante

---

En la diferenciación de la ecuación (1), $$F'(i)=G'(i)\cdot J(i) + G(i)\cdot J'(i)$$ Usted ya sabe $G(i)$ $J(i)$ (mencionados anteriormente), por lo que vamos a encontrar sus derivados. $$J'(i)=\frac{-1}{(i+1)^2}+\frac{-1}{(n-i)^2}$$ Y $$G'(i)=\left[\frac{n!}{\Gamma(i+1)\Gamma(n-i)}\right]' =-n!\frac{\color{red}{\Gamma'(i+1)}\Gamma(n-i)+\Gamma(i+1)\color{red}{\Gamma'(n-i)}}{(\Gamma(i+1)\Gamma(n-i))^2}$$ Llegamos a la anterior, usando la regla de cocientes para la diferenciación.

Desde $$\Gamma'(i+1)=i!(H_i-\gamma)$$ and $$\Gamma'(n-i)=-[n-(i+1)]!(H_{n-(i+1)}-\gamma)$$ and $$\Gamma(i+1)=i!$$ and $$ \Gamma(n-i)=(n-(i+1))!$$obtenemos: $$G'(i) =-n!\left[\frac{\left[i!(H_i-\gamma)\right](n-(i+1))!-i!\left[(n-(i+1))!(H_{n-(i+1)}-\gamma)\right]}{(\Gamma(i+1)\Gamma(n-i))^2}\right]$$ $$G'(i) =(n! \cdot i! \cdot (n-(i+1))!)\left[\frac{\left[(H_{n-(i+1)}-\gamma)\right]-\left[(H_i-\gamma)\right]}{(\Gamma(i+1)\Gamma(n-i))^2}\right]$$ Es decir, $$G'(i)=\left[H_{n-(i+1)}-H_i\right]\left[\frac{(n! \cdot i! \cdot (n-(i+1))!)}{(i! \cdot (n-(i+1))!)^2}\right]$$ Por lo tanto: $$G'(i)=\left[H_{n-(i+1)}-H_i\right]\left[{n \choose i+1}\cdot(i+1)\right]$$

Finalmente, obtenemos: $$\color{purple}{F'(i)=\left[\left[H_{n-(i+1)}-H_i\right]\left[{n \choose i+1}\cdot(i+1)\right]\right]\cdot\left[\frac{1}{(i+1)}-\frac{1}{(n-i)}\right]+\left[\frac{n!}{\Gamma(i+1)\Gamma(n-i)}\right]\cdot\left[\frac{-1}{(i+1)^2}+\frac{-1}{(n-i)^2}\right]}$$

---

Desea maximizar $F(i)$.

Enchufe en la fórmula de la sección anterior para el $F'(i)$ $F'(i)=0$ para obtener la función de los puntos críticos que se puede determinar a ser los mínimos locales o los máximos locales o simplemente puntos de inflexión mediante la segunda derivada de la prueba.

Espero que la respuesta es bastante grande una sugerencia para que usted llegue a la respuesta.