El Lagrangiano como una métrica

Question

Mi pregunta es, ¿puede el (clásico) de Lagrange ser pensado como una métrica? Es decir, hay un sentido importante en el que podemos pensar en la menos-de acción de la ruta de acceso desde la inicial a la final de la configuración como la más corta ? Entonces las ecuaciones de movimiento sería geodesics - no en el espacio físico, sino en el espacio de fase, con la métrica definida por el Lagrangiano. A continuación está un poco ampliado esquema de esta idea, describiendo por qué creo que podría tener sentido.

(Clásica) Lagrangiana de la mecánica se obtiene asumiendo que el sistema toma el camino de la mínima acción de su estado inicial a su final. En el formalismo de la mecánica clásica que normalmente el tiempo de escritura $t$ como un tipo especial de coordinar, muy distinta de las otras (generalizada) coordina $\mathbf{q}$.

Sin embargo, si se quiere se puede asociar estas juntas en un único conjunto de "generalizadas coordinadas espacio-temporales" $\mathbf{r} = (t, q_0, q_1, \dots)$, para ser considerado un espacio vectorial de dimensión $1+n$ donde $n$ es el número de grados de libertad. A continuación, la acción es sólo una función de las curvas de $\mathbf{r}$-espacio, y las ecuaciones de movimiento se determina por la elección de las menos-acción de ruta entre dos puntos, $\mathbf{r_0}$$\mathbf{r_1}$. En esta imagen, $L$ depende de la posición y la dirección de la curva en cada punto a lo largo de ella, y la acción se obtiene una integral de línea a lo largo de la curva.

Esto tiene un agradable geométricas sentir, y por lo que mi pregunta es, hay un sentido importante en el que puedo pensar de los menos acción de ruta como el más corto camino, con el Lagrangiano de jugar el papel de una métrica en $\mathbf{r}$-espacio? O es que hay alguna razón técnica por la $L$ no puede ser pensado como una medida en este sentido?

Tenga en cuenta que esto no es en general la misma como una métrica definida en el espacio-tiempo. Para un $m$-sistema de partículas en $3+1$ de espacio-tiempo, $\mathbf{r}$ tienen $3m+1$ dimensiones, en lugar de 4. Estoy interesado en la noción de una métrica en $\mathbf{r}$-espacio definido por $L$, en lugar de la habitual imagen de $L$ se define en términos de una métrica en el espacio-tiempo.

Answer 1

La dinámica de una clase de sistemas mecánicos puede ser descrito como una geodésica de movimiento en algunas espacio ambiente. Esta es la esencia de la teoría de Kaluza-Klein.

El más elemental y básica de ejemplo, es el caso de una partícula cargada en $3D$, junto a un campo magnético que puede ser descrito como una partícula neutral geodesically en movimiento en un fondo métrica en $4D$, de tal manera que la cuarta dimensión tiene la forma de un círculo. Por favor, consulte Marsden y Ratiu (Introducción a la mecánica y la simetría - página 200). El $4$-ésimo componente del momentum de la partícula a lo largo del círculo se convierte en la carga eléctrica.

Así, esta teoría puede explicar el origen de la carga. El círculo de $S^1$ que abarca el $4$-ésima dimensión que empezamos con los extremos a ser el espacio interno $U(1)$ de la carga eléctrica. (También, ya que, en la mecánica cuántica, los impulsos a lo largo de espacios compactos son cuantificadas, esta teoría también explica la cuantización de la carga eléctrica).

La generalización de la teoría de Kaluza-Klein describe no Abelian cargos y intercations como spin y el color también existen. Por favor, véase por ejemplo el siguiente artículo por Harnad y Pare.(La generalización de la Kaluza Klein teoría para incluir no Abelian cargos y las interacciones con Yang-Mills campos fue iniciado por Kerner).

La generalización de múltiples partículas que interactúan a través de gravitacional, electromagnética y de Yang-Mills campos es sencillo. Uno sólo tiene a la par de ellos a la misma métrica en el espacio ambiente. También, no hay ninguna dificultad para formular la teoría de la relativistically, ya que el relativista reglas para el acoplamiento a una métrica son conocidos.

En matemáticas, esta teoría se llama "SubRiemannian geometría", por Favor consulte la siguiente revisión por I. Markina. La mayoría de la construcción en general es permitir que el de partículas a partir de cualquier punto en el espacio ambiente, y se mueven a lo largo de las líneas geodésicas, pero para limitar su velocidad a mentir en ciertas los subespacios de su tangente paquete. Así esta teoría en toda su generalidad describe nonholonomic restricciones y tiene muchas aplicaciones en la geométrica de la mecánica.

Debido a todas las posibles interacciones que pueden ser explicados por la Kaluza-Klein enfoque, parecía muy atractivo para la unificación de todas las fuerzas fundamentales. Pero, hay un fuerte argumento por Witten que no podemos obtener fermiones sin masa quiralmente junto al medidor de campos en este enfoque. (Podemos, por supuesto, introducir esta interacción con la mano, pero entonces perderíamos la unificación principio). Desde entonces, este tipo de interacción se Encuentra en la base del modelo estándar, este enfoque fue prácticamente abandonada.

Answer 2

Se puede derivar las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de geodesics) para una partícula en el espacio-tiempo curvo mediante el Lagrangiano $$L = \frac{1}{2} \sum_{\mu,\nu} g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{dt} \frac{dx^\nu}{dt},$$ así que la respuesta es sí. Usted podría considerar la configuración de colector como el colector, no tiene por que ser la física espacio-tiempo.

Me gustaría aclarar que $L$ es la métrica del colector en estudio, no $g_{\mu\nu}$, los cuales son sus componentes en la base específica.

Ejemplo

El movimiento de una partícula sobre una superficie de revolución $r = r(z)$ $\mathbb{R}^3$ es descrito en coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$ por $L = \frac{1}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2)$, $g_{\mu\nu} = \text{diag}(1,r^2,1)$. Esto ha cíclico coordinar $\theta$ y dos grados de libertad, lo que significa que el problema puede ser resuelto. De hecho, desde el hamiltoniano es independiente del tiempo, la energía se conserva y $|\dot{\vec{x}}|=\text{const}$. Si el ángulo entre el meridiano y $\dot{\vec{x}}$$a$,$r\dot{\theta} = |\dot{\vec{x}}| \sin a$, y, desde el $p_\theta = r^2\dot{\theta} = \text{const}$, obtenemos $r\sin a = \text{const}$, la ecuación de la geodesics.

Answer 3

I) OP habla acerca de la minimización de las curvas (en lugar de mayores dimensiones de los objetos), así que vamos a concentrarnos en punto de la mecánica (como oposición a la teoría de campo) con Lagrange $L$ (en lugar de Lagrange de la densidad de ${\cal L}$). Convenimos en llamar a la curva de tiempo del parámetro $t$, a pesar de que no tiene que corresponden a las variables en el tiempo.

Supongamos por simplicidad imponer las condiciones de contorno de Dirichlet en la curva

$$ \tag{1} q(t_i)~=~q_i \qquad \text{and}\qquad q(t_f)~=~q_f. $$

Tener el principio de acción estacionaria de trabajo como mínimo principio de la acción, el potencial de plazo debe ser pequeño, es decir, se debe estudiar la repentina aproximación $\Delta t:=t_f-t_i \ll \tau$ pequeñas ("para que el potencial no tiene tiempo para actuar"), o el estudio de las teorías, sin términos potenciales, es decir,

$$\tag{2} L(q,\dot{q})~=~T(q,\dot{q})~=~ g_{jk}(q)\dot{q}^{j}\dot{q}^{k}.$$

Tener un mínimo principio, la métrica $g_{jk}$ debe ser (semi)positiva definida. Cero modos debe ser de calibre fijo.

II) Suponga que el espacio de configuración $(M,g)$ está dotado de una métrica $g_{jk}$. Parece natural en este contexto hablar de Synge del mundo en función de $\sigma(q_f,q_i)$, que es la mitad del cuadrado de la longitud de la (la más corta) geodésica entre los dos generalizado de posiciones $q_i$ $q_f$ , cf. por ejemplo, Ref. 1. Synge del mundo en función de $\sigma(q_f,q_i)$ puede no ser bien definidas a nivel mundial. Además de la relatividad general, la Synge el mundo de función es utilizado por varios autores, tales como, por ejemplo, Ref. 2 y 3, en geométricamente covariante enfoques de la teoría de campo.

Referencias:

1. E. de Poisson, El Movimiento de Partículas puntuales en la Curva el espacio-Tiempo, que Viven Modif. de la Relatividad, 7 (2004) 6; en la Sección 2.1.

2. Bryce DeWitt, Supermanifolds, Cambridge Univ. Press, 1992; a partir de alrededor de eq. (6.4.13).

3. G. A. Vilkovisky, La única acción efectiva en la teoría cuántica de campos, Nucl. Phys. B234 (1984) 125; a partir de alrededor de eq. (12).

Answer 4

No es necesario asumir que el camino de la acción es el camino tomado. Se puede mostrar a partir de las leyes de Newton. Ver http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics/two.pdf

El camino de la acción es el camino para que $F = ma$ mantiene en cada punto. Esta es la geodésica. Este es el camino más corto a través del espacio-tiempo. Usted obtener esta ruta desde el Lagrangiano.

Usted puede hacer esto de muchas partículas en general los sistemas de coordenadas. Funciona para todas las leyes fundamentales de la física.

Pero no estoy seguro de esto hace que el Lagrangiano de una métrica. Un espacio vectorial es un espacio métrico si tiene una métrica. Una métrica es una función que toma cualquier vector y devuelve la longitud de dicho vector.

En este caso, el espacio vectorial es el espacio-tiempo. La métrica usual devuelve una longitud adecuada o un tiempo apropiado.

Estás diciendo que un reemplazo válido para la longitud está dada por $L = T-V$? Esto tiene unidades de energía. Proporciona información acerca de las fuerzas, no sólo el espacio-tiempo. Tal vez esto está bien. Geodesics contienen información acerca de las fuerzas. Pero más energía = mayor distancia/tiempo?

Esto no se ve bien, a menos que usted está hablando acerca de un vector diferente de espacio que creo que te refieres.