Hace el signo del polinomio característico tiene algún significado?

Question

El polinomio característico de una matriz $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$, $p_A (\lambda) = \det(A-\lambda \cdot E)$ puede ser usado para encontrar los valores propios de la función lineal $\varphi:\mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n, \varphi(x) := A \cdot x$, ya que los valores propios son las raíces de $p_A(\lambda)$. Así, para encontrar los valores propios, el signo del polinomio característico no es importante. Por el momento, esto es sólo la aplicación del polinomio característico, que yo sepa.

Qué otras aplicaciones del polinomio característico existen, donde el signo de es importante?

Puedo hacer ninguna declaración acerca de la matriz $A$ cuando sé que el signo de su polinomio característico?

Answer 1

Si usted sabe que el signo de la líder plazo, usted sabe si $n$ es par o impar. Para todos los propósitos prácticos, uno bien podría haber utilizado $\det(\lambda E-A)$ como definición. Sin embargo, parece claro más fácil coger una matriz y editar sólo las entradas de la diagonal por la anexión de "$-\lambda$".

Answer 2

En realidad, el polinomio característico se define a menudo como $$ \chi_A=\det(I_nX-A)\en k[X] $$ para estar siempre monic (de grado $n$); véase, por ejemplo en la Wikipedia. Esto difiere por un signo (y llamando a la matriz de identidad por parte de los más dolores de nombre de $I_n$) de la definición citada. El hecho de que las dos contradictorias definiciones coexistir muestra que la cuestión de un factor de $(-1)^n$ no se considera de gran importancia.

En mi experiencia, sin embargo, en la mayoría de las aplicaciones del polinomio característico otros que sólo para la búsqueda de autovalores, el hecho de que es monic es de importancia. (Una de estas aplicaciones es para mostrar que ciertos valores son enteros algebraicos sobre el anillo de la base, es decir, las soluciones de un monic ecuación polinómica.) Por cierto, en esas aplicaciones monic-hasta-para-una-señal va a ser visto fácilmente para hacer el trabajo tan bien, pero es más conveniente si el polinomio característico es sólo monic, período.

También considere la declaración "el coeficiente de grado $n-i$ $\chi_A$ $i$- th simétrica de la función de menos los autovalores de a $A$ (tomada con trece multiplicidades algebraicas)". Con la definición que le dio, usted tendría que tirar en otro "menos".