Las desigualdades se pueden transformar en ecuaciones - semi-variedades algebraicas se convirtió en $\mathbb{R}$-esquemas?

Question

Supongamos que un semi-algebraicas conjunto en $X \subset \mathbb{R}^n$ se define por un polinomio de igualdades y desigualdades, tales como $p(x) \geq q(x)$. Podemos reducir las desigualdades de la forma $h(x) \geq 0$, y entonces podemos pensar en esto como la declaración de que $h(x) = t^2$ donde $t$ es ahora una nueva variable. Por lo tanto, obtenemos un esquema sobre $\mathbb{R}$, cuyo verdadero puntos naturalmente corresponden a X (por olvidar las $t$-coordenadas). Denotar por $X^s$ este esquema.

Mi pregunta: ¿en qué medida es el mapa $X \to X^s$ una incrustación de categorías? (Una de morfismos entre semi-algebraica de los conjuntos es algo cuya gráfica es algebraico? No estoy realmente seguro de lo que debe ser.)

Answer 1

Su argumento muestra (con algunos complementos para lidiar con inecuaciones y desigualdades estrictas) que cada semialgebraic set $X$ es la proyección de algunos de los verdaderos conjunto algebraico $V$. Pero no hay canónica tales algebraicas establecer como usted parece creer. Depende de la descripción de la semialgebraic set $X$, y por tanto no se map $X \mapsto X^s$.

Hay una manera de asociar canónicamente un esquema para un semialgebraic set $X$: se puede considerar el esquema afín de que el anillo de semialgebraic funciones continuas en $X$. Funciona bastante bien para el local cerrado semialgebraic conjuntos, pero ese plan no es lejos de lo habitual $\mathbb{R}$-en los planes de la geometría algebraica. Sobre este tema se puede ver la obra de Niels Schwartz, ha escrito un libro de Memorias de la AMS en verdaderos espacios cerrados.

Schwartz, Niels. Tél básicos de la teoría de la real cerró los espacios. Mem. Amer. De matemáticas. Soc. 77 (1989), no. 397, viii+122 pp.

¿Usted piensa que usted podría dar un ejemplo donde el $X^s$ son diferentes (como isomorfismo clases de esquemas, no como una incrustación)? (Para mí esto tiene la sensación de que el truco para la incorporación de complementos de afín hypersurfaces cerrado de subvariedades por golpear la dimensión de seguridad en uno).

Si $X$ es el rojo cerrado semialgebraic se establecen en la presente, ¿qué es $X^s$?