Una Monotonía de la propiedad para la Convergencia en las Medidas de

Question

Deje $\{ f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ $\{ g_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ son dos secuencias de bienes con valores de funciones medibles sobre la medida del espacio de $(\mathscr{X},\mathcal{A},\mu)$ tal que $f_n\overset{\mu}\longrightarrow f$ $g_n\overset{\mu}\longrightarrow g$ y $f_n \ge g_n$ $\mu$-una.e. para cada una de las $n\in\mathbb{N}$, entonces creo que también debemos tener $f\ge g$ $\mu$-una.e.

Parece intuitivo para mí que este resultado debe ser cierto...pero he estado tratando de demostrar esta afirmación a mí mismo durante bastante tiempo y no he llegado a ninguna parte!

También estaba pensando....si la declaración es verdadera, si puedo cambiar la condición para $f_n > g_n$ $\mu$-una.e. para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ sería correcto decir que esto NO garantiza $f> g$ $\mu$-una.e. como tengo la sensación de que la desigualdad estricta no se conserva en virtud de una limitación de argumento?

Gracias =)

Answer 1

El aceptó la respuesta es un poco incorrecto, ya que no podría existir una $\epsilon$ tal que $\{\omega \in \mathcal{X}: g(\omega)-f(\omega) > 0\} = \{\omega \in \mathcal{X}: g(\omega)-f(\omega) > \epsilon\}$. Por ejemplo, vamos a $\mathcal{X}=\mathbb{N}$, $f \equiv 0$ y $g(n)=n^{-1}$. Sin embargo, el argumento puede ser fijo.

Deje $A_{m}=\{g-f > m^{-1}\}$. Si, para cada $m$ $\mu(A_m)=0$, entonces \begin{align*} \mu(\{g -f > 0\}) &= \mu(\cup_{m=1}^{\infty}\{g-f > m^{-1}\}) \\ &= \mu(\cup_{m=1}^{\infty}A_m) = 0 \end{align*} La respuesta anterior muestra que, para cada $m$, $\mu(A_m)=0$.

Answer 2

En primer lugar, tenga en cuenta que $g - f>0$ si y sólo si $g - f > 1/m$ algunos $m \in \mathbb{N}$. Por lo tanto, $$\mu(g-f>0) = \mu(\cup_{m \in \mathbb{N}} \{g-f> 1/m\}).$$

Queda por demostrar que $\mu(g-f>1/m) = 0$ todos los $m \in \mathbb{N}$.

Para ello, observa la siguiente cadena de implicaciones. Si $g - f > 1/m$, $(g - g_n) + (f_n - f) > 1/m$ porque $f_n \geq g_n$. A continuación, $|g - g_n| + |f_n -f| > 1/m$. A continuación, $|g - g_n| > 1/2m$ o $|f_n - f| > 1/2m$. A partir de estas implicaciones ahora tenemos $$\mu(g-f>1/m) \leq \mu(|g - g_n| > 1/2m) + \mu(|f_n - f| > 1/2m)$$ para todos los $n$$m$. Dejando $n \to \infty$ sobre la mano derecha, llegamos a la conclusión de que $$\mu(g-f>1/m) = 0$$ para todos los $m \in \mathbb{N}$, y la prueba está completa.

Respecto a la segunda pregunta, sí, tu intuición es correcta. Para mostrar esto, simplemente, reducir el problema a la primaria de la noción de un límite mediante la consideración de un trivial medir el espacio, por ejemplo,$\Omega = \{\omega\}$. Vamos $f_n(\omega) = 1/2^n$, $g_n(\omega) = 1/3^n$.