A forma cuadrática es un polinomio $p(x_1,\dots,x_n)$ de la forma $$ p(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i \leq j}a_{ij}x_ix_j. $$ Por ejemplo, $p_1(x,y,z,w)=x^2+y^2+z^2+w^2$ y $3x^2-5y^2$ son formas cuadráticas. No estoy seguro de que esto sea relevante aquí, pero para cualquier $p$ existe una matriz simétrica $A$ tal que $p(\vec x)= (\vec x)^T A(\vec x)$ donde pensamos en $\vec x$ como un vector de columnas.
$p$ es _positivo definido_ si $p(\vec x)>0$ siempre que $\vec x\ne 0$ .
El formulario es de valor entero si $p(\vec a)\in{\mathbb Z}$ siempre que $\vec a\in {\mathbb Z}^n$ .
Para abreviar, digamos "forma" en lugar de "forma cuadrática valorada por enteros positiva definida". Una forma es universal si representa todo número entero positivo, es decir, para todo $m>0$ hay $\vec a\in{\mathbb Z}^n$ con $p(\vec a)=m$ . Para ejemplo , $p_1$ arriba es universal.
He leído que ninguna forma en 3 o menos variables es universal, y esperaba una prueba (o al menos una referencia si la prueba es demasiado larga/convulsa para escribirla aquí). También me preguntaba si el requisito de definición positiva es relevante aquí, y si esto es sólo para las formas $p$ donde la matriz $A$ arriba tiene entradas enteras.
