Álgebra de Lie de un subgrupo de Lie

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie y $H$ un subgrupo de Lie de $G$ es decir, un subgrupo en el sentido de la teoría de grupos y un submanifold inmersivo. Sea $\mathfrak{g}$ y $\mathfrak{h}$ sean las álgebras de Lie asociadas.

Ahora, el álgebra de Lie $\mathfrak{h}$ está dada por:

$$ \mathfrak{h} = \{ X\in \mathfrak{g} : \exp_G(tX)\in H, \text{ for } \vert t \vert < \varepsilon \text{ for one } \varepsilon > 0 \} $$

Por lo tanto, esta definición varía de la habitual,

$$ \mathfrak{h} = \{ X\in \mathfrak{g} : \exp_G(tX)\in H \quad \forall t\in \mathbb{R}\} $$

restringiendo los valores de $t$ a un pequeño intervalo.

Lo único que sabemos, es que $H$ es un subgrupo de Lie de $G$ pero ¿cómo permite esta propiedad la restricción de la $t$ ¿valores?

Answer 1

Si $X\in\mathfrak g$ es tal que $\exp(tX)\in H$ para valores pequeños de $t$ Entonces, de hecho $\exp(tX)$ está en $H$ para todos los valores de $t$ .

De hecho, suponga que sabe que $\exp(tX)\in H$ para $t\in(-t_0,t_0)$ y que $t\in\mathbb R$ . Existe $n\in\mathbb N$ tal que $t/n\in(-t_0,t_0)$ y luego $$\exp(tX)=\exp(n\cdot\tfrac tnX)=\exp(\tfrac tnX)^n,$$ y este último está en $H$ porque $\exp(\tfrac tnX)$ es y $H$ es un subgrupo.