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Hörmander con la condición de no-liso $f$

Hörmander condición

Deje $L$ denotar el operador \begin{equation} L = \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^k X_i ^2 + X_0, \end{equation} donde $X_1,\dots,X_k$ $C^\infty$ campos vectoriales en $\mathbb{R}^n$. Suponga que se encuentran Álgebra generada por $X_1,\dots,X_k,X_0$ span $\mathbb{R}^n$. Entonces, si $u$ es una distribución tal que \begin{equation} Lu = f \end{equation} y $f\in C^\infty$ en un conjunto abierto G, a continuación,$u$$C^\infty$$G$.

Mi pregunta es, ¿qué pasa si $f$ no $C^\infty$? Tradicional de los resultados para la ecuación parabólica, $f$ sólo está obligado a ser Hölder continua para algunos exponente $\alpha$, $u$ puede ser demostrado ser $C^2$ $\alpha$ Hölder derivados. Hace lo mismo sostener aquí?

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Tom Peplow Puntos 1548

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Hörmander la condición dice que si $f$ es en un espacio de Sobolev $H^s$, a continuación, en virtud de la condición de los campos vectoriales, entonces la solución es un poco mejor el espacio. Echa un vistazo a Hörmander 4 volúmenes aquí, aquí, aquí, y aquí.

Hörmander, Lars. El análisis de los lineales en derivadas parciales operadores. I. La distribución de la teoría y el análisis de Fourier. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios Fundamentales de las Ciencias Matemáticas], 256. Springer-Verlag, Berlin, 1983. ix+391 pp.

Hörmander, Lars. El análisis de los lineales en derivadas parciales operadores. II. Operadores diferenciales con coeficientes constantes. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios Fundamentales de las Ciencias Matemáticas], 257. Springer-Verlag, Berlin, 1983. viii+391 pp.

Hörmander, Lars. El análisis de los lineales en derivadas parciales operadores. III. Pseudodifferential operadores. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios Fundamentales de las Ciencias Matemáticas], 274. Springer-Verlag, Berlín, 1985. viii+525 pp.

Hörmander, Lars. El análisis de los lineales en derivadas parciales operadores. IV. Fourier integral de los operadores. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios Fundamentales de las Ciencias Matemáticas], 275. Springer-Verlag, Berlín, 1985. vii+352 pp.

Hay muchos papeles sobre su problema.

Si tus campos vectoriales son lisas, las regularidades de la solución a$$Lu = f$$ha sido estudiado por los Rothschild y Stein (ver Acta Mathematica 137 (1976) aquí) bajo diferentes supuestos.

Rothschild, Linda Preiss; Stein, E. M. Hypoelliptic operadores diferenciales y nilpotent grupos. Acta De Matemáticas. 137 (1976), no. 3-4, 247-320.

El papel no es fácil de leer y, lamentablemente, la prueba en el caso general (cuando los campos vectoriales $X_0$ es necesario para Hörmander la condición) es que acabo de esbozar.

Para "parabólico" operador genera el uso de Hörmander vectorial de los campos que se pueden consultar también las siguientes aquí.

Bramanti, Marco; Brandolini, Luca. Schauder estimaciones para parabólico nondivergence operadores de Hörmander tipo. J. Ecuaciones Diferenciales 234 (2007), no. 1, 177-245.

También, me gustaría sugerir que el trabajo reciente de aquí y las referencias allí contenidas.

Bramanti, Marco; Zhu, Maochun. $L^p$ y Schauder estimaciones para nonvariational operadores estructurado en Hörmander campos vectoriales con la deriva. Anal. PDE 6 (2013), no. 8, 1793-1855.

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