Después de la incompletness teorema de la prueba

Question

Esto es un poco de un menor punto sobre el incompletness teorema, pero siempre estoy un poco inseguro:

Así que uno se demuestra que no hay una fórmula que es improbable que en la teoría de consideración. Bien, en este punto se hace.

Entonces, como que no probados de la sentencia contiene la afirmación de que este (el improbable-ness) que iba a ocurrir, uno es, en cierto sentido, justificado a decir "por Lo que la instrucción es cierto, pero aún así, es improbable dentro de la teoría". Ahora, aquí está mi problema: estoy muy seguro de en que sentido esta noción de verdad algo que viene de fuera de la teoría es sensato. Hay una nota sobre ese punto en la página de la wikipedia , pero yo realmente no lo comprende.

La palabra "verdad" se usa disquotationally aquí: la sentencia de Gödel es cierto en este sentido porque "afirma su propia unprovability y de hecho, es improbable" (Smoryński 1977 p. 825; ver también Franzén de 2005, pp 28-33). También es posible leer "GT es verdadero" en el sentido formal de que la primitiva recursiva aritmética demuestra la implicación Con(T)→GT, donde Con(T) es un canónica de la sentencia de la afirmación de la consistencia de T (Smoryński 1977 p. 840, Kikuchi y Tanaka, 1994 p. 403)

Por lo que puedo ver que si uno es técnicamente consciente de que uno está hablando en un idioma meta, que uno se ha introducido una nueva "verdad". Pero, de nuevo (a) si uno reflexiona sobre el hecho de que uno dibuja tales análisis técnico conclusiones fuera de la inicial freamework, entonces a mí me parece uno realmente debe introducir otro meta-meta-lenguaje. Y (b) no es realmente sólo un poco ambiguo decir "Gödels teoremas de la incompletitud dice que no son verdaderas declaraciones, que no puede ser demostrada dentro de un cierto fuertes teoría"?

Estaría agradecido si alguien pudiera elaborar en que.

Answer 1

Esta es una extensión de un comentario más abajo Arthur Fischer respuesta. Para la concreción vamos a trabajar con la teoría de la PA, pero, en principio, cualquier suficientemente fuerte de la teoría de actuaría de la misma.

Trabajo en PA, o incluso en los más débiles de la teoría de la PRA, se puede demostrar formalmente la implicación $$ \text{Con}(PA) \G_{PA} $$ donde $G_{PA}$ es la sentencia de Gödel de la PA. Esto nos lleva a dos conclusiones:

1. Porque sabemos desde el primer teorema de la incompletitud de que $G_{PA}$ no es demostrable en PA, y debido a $\text{Con}(PA) \to G_{PA}$ es demostrable en PA, $\text{Con}(PA)$ no debe ser demostrable en PA. Esta es la manera estándar para probar el segundo teorema de la incompletitud.

2. Si estuviéramos trabajando en un entorno donde ya habíamos asumido $\text{Con}(PA)$, y tenemos acceso a la normal de los recursos de la PRA, entonces podemos probar $G_{PA}$. En particular, cuando nos están demostrando los teoremas de incompletitud estamos trabajando en condiciones normales de matemáticas, que incluye mucho más que la PRA, y asumimos $\text{Con}(PA)$ cuando nos están demostrando que el teorema. En virtud de que la suposición de que podemos demostrar $G_{PA}$ en condiciones normales de matemáticas. Así, la sentencia de Gödel es "verdadera" en exactamente el mismo sentido que la $\text{Con}(PA)$ es verdadera cuando asumimos como una hipótesis a demostrar el teorema de la incompletitud.

El punto clave en la segunda viñeta es que no tenemos que demostrar $G_{PA}$ partiendo de nada. Demostramos $G_{PA}$ comenzando con el conocimiento o presunción de que $\text{Con}(PA)$ mantiene. Si no se asume la verdad de $\text{Con}(PA)$, o tener una prueba separada de $\text{Con}(PA)$, el argumento de que la bala sería inútil. Pero una vez que lo asumen $\text{Con}(PA)$ es cierto, sólo se necesita una muy débil de la teoría (PRA) para deducir que $G_{PA}$ también es cierto en virtud de esa presunción.

Answer 2

No podría ser un poco de un huevo y la gallina que está ocurriendo aquí. Para el común de las pruebas de Gödel del Teorema de la Incompletitud, ponemos especial prioridad en la estructura de la $( \mathbb{N} , 0, S, + , \cdot , \mathrm{exp} )$ de los elementales de la aritmética. Si algo es cierto en esta estructura, que a menudo se refieren a la declaración como verdadera.

La Aritmética de Peano es un intento de axiomatize todas las verdades de esta estructura. En términos más modernos, quizás era de esperar que la declaración $$\mathbb{N} \models \phi \;\Leftrightarrow\; \text{PA} \vdash \phi$$ would have been true (or true). Gödel's Theorem tells us that this is impossible, and, more, that any attempt to "nicely" axiomatize truth in $\mathbb{N}$ está condenado al fracaso, por ser inconsistente o incompleta.

Como la estructura de $\mathbb{N}$ "existe" fuera del sistema formal de PA (y "existe" mucho antes de que este sistema fue ideado), podemos argumentar acerca de la verdad dentro de la estructura $\mathbb{N}$ el uso de métodos fuera del sistema formal de PA. De hecho, hay varias verdades acerca de $\mathbb{N}$ que sabemos que no puede ser probada dentro de PA (por ejemplo, el Teorema de Goodstein y un cierto fortalecimiento de la finita del Teorema de Ramsey). Mientras que no hay controversia real sobre estos extra-PA métodos utilizados, la verdad de estos resultados es igualmente polémica. Es por el uso de tales métodos fuera de PA que sostenemos que si PA es consistente, entonces $G_{\text{PA}}$ es verdadera (en $\mathbb{N}$).

Aunque tal vez un poco ambiguo, esta consecuencia del Teorema de Gödel podría ser reexpresado (algo incómodamente) como "Dado cualquier "buen" sistema axiomático consistente capaz de expresar elementales de cálculo, hay número de la teoría de afirmaciones que son verdaderas en $\mathbb{N}$ que no puede ser probada dentro de ese sistema."

Answer 3

El teorema de la incompletitud, en su forma habitual, habla acerca de los números naturales $\mathbb N$ junto con algunos de relaciones, tales como $\leq$, constantes, tales como $0$ $1$ y las operaciones de $+$$\cdot$. Para simplificar el tema, estamos listos para agregar otra operación de exponenciación $n^m$. No hay una definición inductiva de cuando una frase $\varphi$ en el idioma apropiado es cierto en $\mathbb N$. Este inductivo definición a través de la complejidad de $\varphi$ es sólo lo que usted esperaría:

Por ejemplo, si $\varphi(x_1,\dots,x_n)$ es una fórmula y ya sabemos que, dada números naturales $m_1,\dots,m_n$, si $\varphi(m_1,\dots,m_n)$ mantiene en $\mathbb N$, a continuación, $\exists x_1\varphi(x_1,\dots,x_n)$ mantiene para $m_2,\dots,m_n$ en lugar de $x_2,\dots,x_n$ si hay algo de $m\in\mathbb N$ tal que $\varphi(m,m_2,\dots,m_n)$.

Un simple ejemplo, la fórmula $x\leq y$ mantiene para $m$ $n$ en lugar de $x$ $y$ si en realidad tenemos $m\leq n$$\mathbb N$.

Ahora vamos a utilizar Gödel de la técnica para construir una frase $\varphi$ que intuitivamente se dice "yo no soy demostrable". Esto es en realidad altamente no trivial, pero sólo hemos de suponer que se puede hacer. Si $\varphi$ fueron comprobable, podríamos probar una declaración de que está mal en $\mathbb N$. (Porque si $\varphi$ fuera cierto, no hemos podido probarlo.) Pero se supone que a partir de nuestros axiomas sólo podemos probar enunciados verdaderos en $\mathbb N$. Por lo $\varphi$ es realmente improbable y lo verdadero en $\mathbb N$, en el sentido de que se discutieron anteriormente.

La realidad de la parte técnica de este argumento es mostrar que podemos hablar de provability en el lenguaje de la $\mathbb N$. Para mí la parte más impresionante de Gödel su argumento es que hay una frase que dice básicamente "yo no soy demostrable". Este es el llamado punto fijo lema.