¿Nombre para el hecho de que un colchón no se puede girar uniformemente aplicando repetidamente la misma transformación?

Question

Por favor, disculpen cualquier error terminológico o de notación, ni soy matemático ni hago de tal en la tele. Estoy bastante seguro de que este es un problema conocido, probablemente nombrado, pero me falta el conocimiento de fondo para saber siquiera por dónde empezar. Toda la búsqueda que he hecho me ha conseguido consejos sobre cómo girar mi colchón, e información sobre diferentes ciclos -- carnot, nitrógeno, biogeoquímico, etc.

Se supone que debes girar y voltear un colchón para que tu cabeza descanse en un extremo 1/4 del tiempo. Rotulemos el colchón para que tenga una parte superior y otra inferior, y un lado norte y otro sur:

+---T---+
|       |
+---B---+

+---N---+
|       |
|       |
|       |
|       |
+---S---+

El colchón puede estar en cuatro estados: {TN, TS, BN, BS}. Para voltear un colchón se intercambia (T,B), para rotarlo se intercambia (N,S). No existe ninguna combinación de volteo y rotación que, al repetirse continuamente, visite todos los estados: si volteas, el estado (N,S) sigue siendo el mismo; si rotas, el estado (T,B) sigue siendo el mismo; si volteas y rotas, sigues pasando de un estado a otro.

Si no me equivoco, el número de estados que se puede conseguir recorriendo subestados con grados $m, n, ...$ es $LCM(m, n, ...)$ . ¿Cuál es el nombre de esta propiedad, y el hecho de que esta enumerará todos los estados iff $m, n, ...$ ¿son todos coprimos?

Answer 1

Las rotaciones del colchón pueden representarse mediante una estructura algebraica denominada grupo . Este grupo en particular se denomina Klein de cuatro grupos y es isomorfo al producto directo de dos copias de $\mathbb Z / 2\mathbb Z$ . (Una de esas copias es el intercambio (T,B), y la otra es (N,S)). El grupo tiene la propiedad de que cada operación (excepto la operación trivial "no hacer nada") tiene orden $2$ es decir, cualquier operación realizada dos veces devolverá el colchón a su estado original.

Si todos los elementos de un grupo pueden alcanzarse aplicando repetidamente una operación $g$ se dice que el grupo es cíclico y puede ser generado por $g$ . En el caso del colchón, como ninguna operación tiene orden 4, el grupo no es cíclico. Está generado por las dos volteretas (T,B) y (N,S), pero no por una sola voltereta.

El resultado que se pregunta con el caso más general del producto directo de $\mathbb Z / m\mathbb Z$ y $\mathbb Z / n\mathbb Z$ (es decir, "ciclismo a través de subestados $m$ y $n$ ") se describe en el Artículo de Wikipedia sobre el producto directo de grupos . En resumen, $\mathbb Z / m\mathbb Z \times \mathbb Z / n\mathbb Z$ es cíclico y generado por $(1,1)$ sólo si $\gcd(m,n) = 1$ .

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(¡gracias a @pjs36 por señalar los términos críticos que faltan!)

Answer 2

Puedo hacer una sugerencia. Llamemos a esta estación Primavera. Así que escribe la palabra Primavera con rotulador permanente debajo de donde va tu cabeza. Dentro de tres meses, coloca otro borde en esa posición y escribe allí la palabra Verano. Tres meses más tarde, uno de los bordes no utilizados todavía, y escribe Otoño. Tres meses después, Invierno.

Después, cada tres meses, busca la esquina que tenga la temporada próxima.

Si te mudas entre los hemisferios Norte y Sur, compra un colchón nuevo.

Si no quieres usar rotulador, quizás bordado. Punto de cruz.

Answer 3

Hay otra operación de simetría posible, que es voltear el lado largo. Esto intercambia tanto (T,B) como (N,S). El colchón tiene una simetría de grupo de puntos D2H.