Real de pruebas con menor equivalente a las pruebas de los números Complejos?

Question

Hay pruebas acerca de los números Reales que tienen menos equivalente a las pruebas que va a través de los números Complejos?

Hay pruebas sobre Enteros de ir a través de Reales, con más tiempo equivalente a las pruebas usando puro Enteros?

Answer 1

Muchas interesantes de integrales definidas de funciones cuya indefinido integrales no tienen la forma cerrada se derivan de la utilización de contorno de integración en el plano complejo. Algunos de estos, sin embargo, pueden ser derivados por más complicado trabajar en la línea real.

Casi todo lo que implican complejidad computacional en ciencias de la computación termina usando el logaritmo, el cual puede ser definido por entero de sólo argumentos, si decide hacerlo, pero cuyas propiedades, como una función de los reales, son de gran interés para su utilización en el análisis de la complejidad.

Answer 2

Otro bueno es trabajar en el cual los números enteros puede ser expresado como la suma de dos cuadrados de números enteros. Dedekind la prueba de la suma de dos cuadrados teorema se basa en factorizar $x^2 + 1$$(x+i)(x-i)$.

Answer 3

Hace algún tiempo me había respondido a una sencilla pregunta que resultó ser un buen ejemplo para los Enteros/parte de Reales (no he podido encontrar más simple discreto de la prueba).

Problema:

Deje $G = (U \uplus V, E)$ ser conectado a un gráfico bipartito tal que $n_U = |U| < |V| = n_V$. Entonces existe una arista $\{u,v\} \in E$ tal que $\deg(u) > \deg(v)$.

Discretos prueba:

Ordenar los vértices tales que \begin{align} \deg(u_1) &\geq \deg(u_2) \geq &\ldots &&\geq \deg(u_{n_U}), \\ \deg(v_1) &\geq \deg(v_2) \geq &\ldots &&\geq \deg(v_{n_V}). \end{align}

Observe que debido a que no existen aislados vértices en $G$ tenemos $\deg(v_{n_V}) \geq 1$, lo $$\sum_{i=1}^{n_U}\deg(u_i)-\deg(v_i) > \sum_{i=1}^{n_U}\deg(u_i)-\sum_{i=1}^{n_V}\deg(v_i) = 0.$$ Deje $k$ el menor número natural con esta propiedad, es decir, $$k = \min\Bigg\{k \in \mathbb{N} \ \Bigg|\ \sum_{i=1}^{k}\deg(u_i)-\deg(v_i) > 0\Bigg\}.$$

De ello se sigue que

1. $\deg(u_k) > \deg(v_k)$, de lo contrario $k$ no sería el número más pequeño con la anterior propiedad.
2. $N\big(\{u_1,\ldots,u_k\}\big) \not\subseteq\big\{v_1,\ldots,v_k\big\}$, debido a que la suma de los grados en $\{v_1,\ldots,v_k\big\}$ es demasiado pequeño para agotar todos los grados de $\{u_1,\ldots,u_k\big\}$.
3. Existe una arista $\{u_i,v_j\} \in E$ tal que $i \leq k \leq j$.
4. $\deg(u_i) \geq \deg(u_k) > \deg(v_k) \geq \deg(v_j)$.

No discreto de la prueba:

Deje $$f\big(\{u,v\}\big) = \frac{1}{\deg(u)} - \frac{1}{\deg(v)}.$$ Esta es una definición adecuada, debido a que no existen aislados vértices en $G$. Ahora observe que $$\sum_{e \en E}f(e) = \sum_{u \U,}\deg(u)\cdot\frac{1}{\deg(u)} - \sum_{v \V}\deg(v)\cdot\frac{1}{\deg(v)} = |U|-|V| < 0.$$

Por lo tanto, existe una arista $\{u,v\}$ tal que $f\big(\{u,v\}\big) < 0$, pero eso significa que $\deg(u) > \deg(v)$.

Espero que esto ayude a $\ddot\smile$

Answer 4

Una buena es: determinación de la radio de convergencia de un poder real de la serie mediante el análisis de las singularidades de la función compleja, definida por la serie.

Y, más en general: analizar las propiedades asintóticas de una secuencia $a_n$ por el examen de las complejas particularidades de la serie $\sum a_n z^n$, la denominada "generación de la función".