Demostrar que $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}$

Question

Para los números reales positivos con $a+b+c=abc$ demostrar que

$$\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\frac{3}{2}$$

He hecho la sustitución $a=\tan(\alpha), b = \tan(\beta), c= \tan(\gamma)$ con la restricción $\alpha+\beta+\gamma=\pi$

A mi la desigualdad reduce a probar que,

$$\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma) \le\frac32$$

Pero estoy atrapado en él. Cualquier ayuda, ya sea con la desigualdad sería apreciada.

Answer 1

Nope, se reduce a $\sum \cos$ no cuadrado. A continuación, sólo un estándar de Jensen argumento. ;)