Computar los valores propios de los personajes

Question

Esta es una pregunta en Teoría de la representación, un primer curso donde los autores tratan de explicar por qué la teoría de los caracteres resulta tan efectiva para el estudio de las representaciones de los grupos finitos.

En particular, quieren demostrar conociendo el personaje $\chi_ {V}$ de una representación de $G$ podemos calcular todos los valores propios (y su multiplicidad) de cualquier elemento.

Intenté algo pero no llegué muy lejos. También parece un poco vago que cuánta información del grupo está disponible.

¿Alguien puede dar una pista? ¡Gracias!

Answer 1

Pista: Dado $g \in G$ que $\rho_g$ denotan su representación. Supongamos que los valores propios de $\rho_g$ son $\lambda_1 ,..., \lambda_n$ . Entonces..:

$$\chi (g)= \lambda_1 +...+ \lambda_n$$

$$\chi (g^2)=Tr( \rho_ {g}^2)= \lambda_1 ^2+...+ \lambda_n ^2$$

$$\chi (g^3)=Tr( \rho_ {g}^3)= \lambda_1 ^3+...+ \lambda_n ^3$$

$$...$$

$$\chi (g^{n})=Tr( \rho_ {g}^{n})= \lambda_1 ^{n}+...+ \lambda_n ^{n}$$

Si se le dan los caracteres de los poderes de $g$ esto produce un sistema de ecuaciones de $\lambda_1 ,..., \lambda_n$ . Por Las identidades de Newton los valores de los polinomios simétricos elementales $s_1= \sigma_1 ( \lambda_1 ,... \lambda_n ),...,s_n= \sigma_n ( \lambda_1 ,... \lambda_n )$ están determinados de manera única, por lo que $( \lambda_1 ,..., \lambda_n )$ es el conjunto de ceros (con multiplicidades) del polinomio $$P(x)=x^n-s_1 x^{n-1}+...+(-1)^n s_n=(x- \lambda_1 )...(x- \lambda_n )$$