Utilizando el método de sustitución para un simple integral

Question

He estado jugando con la sustitución de la regla con el fin de poner a prueba algunas ideas con métodos gráficos. Una de las cosas que estoy haciendo es aplicar la sustitución conocido, y fácil, integrales. Por ejemplo, vamos a usar ese método para encontrar la integral indefinida para

$$f(x) = x^2$$

El uso de la regla de $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, obtenemos

$$F(x) = \frac{x^3}{3} + C$$

Así que, vamos a hacer lo siguiente sustitución:

$$u = x^2$$

$$\frac{du}{dx} = 2x \Leftrightarrow dx = \frac{1}{2x} du$$

Así, la realización de la sustitución en la integral de $f(x)$ nos da

$$\int x^2 dx = \int u \frac{1}{2x} du = \frac{1}{2x} \frac{u^2}{2} + C = \frac{(x^2)^2}{4x} + C = \frac{x^3}{4} + C$$

He hecho nada malo con las sustituciones??

Gracias de antemano!

Answer 1

Usted tiene un error. Si usted está cambiando $dx$ a $du$, entonces usted necesita para convertir todos los términos que contengan $x$ a $u$.

Así tenemos,

$$\int x^2 dx = \int u \frac{1}{2\sqrt u} du$$

$$= \frac 12 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\cdot u du = \frac 12 \int \sqrt u du$$

$$= \frac{1}{2} \cdot u^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{2}{3}+ C$$

$$= \frac{u^{\frac 3 2}}{3} + C = \frac{x^3}{3} + C$$

Answer 2

$\int \frac{1}{2x}u du$ = $\int \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u du$ = $ \int \frac{\sqrt{u}}{2}du$ = $u^{\frac{3}{2}}\cdot\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2} + C$

$= \frac{u^{\frac 3 2}}{3} + C = \frac{x^3}{3} + C$ como se requiere.

Answer 3

si establece $$u=x^2$$ then we have $$x=\pm \sqrt{u}$$ and $$dx=\pm\frac{1}{2\sqrt{u}}du$$