¿Qué es? $\mathbb{Z}[i] \otimes_{\mathbb{Z}[2i]} \mathbb{Z}[i]$ ?

Question

¿Qué es? $\mathbb{Z}[i] \otimes_{\mathbb{Z}[2i]} \mathbb{Z}[i]$ ? Además, como $\mathbb{Z}[i]$ es un PID, deberíamos poder escribir esto $\mathbb{Z}[i]$ -como una suma directa de módulos cíclicos $\mathbb{Z}[i]$ -módulos. ¿Podemos?

Answer 1

El producto tensorial más simple $\mathbb{Z}[i] \otimes \mathbb{Z}[i]$ es abeliano libre en los generadores $1 \otimes 1, 1 \otimes i, i \otimes 1, i \otimes i$ . Como izquierda o derecha $\mathbb{Z}[i]$ -módulo es libre en dos generadores $1 \otimes 1, i \otimes i$ .

Este producto tensorial es el cociente del producto tensorial anterior por la relación adicional que $a \otimes 2i b = 2ia \otimes b$ para todos $a, b \in \mathbb{Z}[i]$ . Esto equivale a cotejar por los cuatro elementos

• $1 \otimes 2i - 2i \otimes 1 = 2 (1 \otimes i) - 2 (i \otimes 1)$
• $1 \otimes (-2) - 2i \otimes i = -2 (1 \otimes 1) - 2 (i \otimes i)$
• $i \otimes 2i - (-2) \otimes 1 = 2 (i \otimes i) + 2 (1 \otimes 1)$
• $i \otimes (-2) - (-2) \otimes i = -2 (i \otimes 1) + 2 (1 \otimes i)$ .

Las relaciones tercera y cuarta son redundantes. La primera relación implica que $1 \otimes i$ y $i \otimes 1$ generan un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$ con $1 \otimes i$ un generador de la $\mathbb{Z}$ parte y $1 \otimes i - i \otimes 1$ un generador de la $\mathbb{Z}_2$ parte. Del mismo modo, la segunda relación implica que $1 \otimes 1$ y $i \otimes i$ generan un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2$ con $1 \otimes 1$ un generador de la $\mathbb{Z}$ parte y $1 \otimes 1 - i \otimes i$ un generador de la $\mathbb{Z}_2$ parte. En conjunto, como grupo abeliano este producto tensorial es

$$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2.$$

Como izquierda o derecha $\mathbb{Z}[i]$ -módulo que es

$$\mathbb{Z}[i] \oplus \mathbb{Z}[i]/(2)$$

donde la primera parte es generada por $1 \otimes 1$ y la segunda parte es generada por $1 \otimes 1 + i \otimes i$ .

Answer 2

Si $R=\mathbb{Z}[2i]$ entonces $\mathbb{Z}[i] \cong R[X]/I$ , donde $I=(X^2+1,2X-2i)$ .

Así que tenemos $\mathbb{Z}[i] \otimes_R R[X]/I \cong \mathbb{Z}[i][X]/I$ .

Sustituyendo $Y=X-i$ Esto es $\mathbb{Z}[i][Y]/(Y^2+2iY,2Y) \cong \mathbb{Z}[i][Y]/(Y^2,2Y) \cong \mathbb{Z}[i] \oplus \mathbb{Z}[i]/2\mathbb{Z}[i]$ .

También podemos ver este isomorfismo más directamente observando que $\mathbb{Z}[i]\otimes_R \mathbb{Z}[i]$ se genera como un $\mathbb{Z}[i]$ -módulo por $1\otimes 1$ y $1\otimes i - i\otimes 1$ que es aniquilado por $2$ .