La comprensión de los ejemplos de subcampo y el primer subcampo de un campo finito

Question

Ya he echado un vistazo a esta respuesta. De alguna manera esto no responde a mi pregunta.

Como puedo encontrar, en varias literaturas,

• Una conferencia nota, Definición 4.1: Vamos $F$ ser un campo. Un subconjunto $K$ eso sí, es un campo en el marco de las operaciones de $F$ se llama subcampo de $F$.
• Otra conferencia nota de la Sección 7.4.2: Un subcampo $G$ de un campo de $F$ es un subconjunto del campo que es en sí mismo un campo en el marco de las operaciones de $F$.

Ahora, si tenemos en cuenta las operaciones del campo,$+ \bmod n$$\times \bmod n$. Nos encontramos con que $\mathbb{Z}_2$ $\mathbb{Z}_5$ son los dos campos en estas operaciones.

Pero con el fin de obtener una buena sensación de subcampos, tratamos de considerar $\mathbb{Z}_{3^2} = \mathbb{Z}_9$. Nos parece que este no es un campo en el antes indicado operaciones. No todos los no-cero elementos, en particular, 3 y 9 ( $\gcd(3,9) \not=1$ $\gcd(6,9) \not=1$ ), no tienen inversos multiplicativos.

En efecto, como la Wikipedia de los estados,

Aunque todos los campos de tamaño de $p$ son isomorfos a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ $n \ge 2$ el anillo de $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ (el anillo de los enteros modulo $p^n$) no es un campo. El elemento $p$ $(\bmod\ p^n)$ es distinto de cero y no tiene inverso multiplicativo.

Buscando ejemplos, nos encontramos con uno de aquí para $GF(2^3)$. Esto está basado en polinomios.

Ahora, llegando a mi punto original (comprensión) subcampo o primer subcampo finito de campos, por favor, dime,

1. Si es totalmente imposible construir puramente numérico ejemplos de los campos de tamaño de $p^n$.
2. Dada una (no numéricos) campo de tamaño de $p^n$, (uno se puede encontrar en la página 90 (16) de este documento), ¿cuál es la mejor manera de identificar el subcampo(s) y el primer subcampo? Agradezco una respuesta que alimenta mi intuición, no teórica que me pone de profundidad difícil en términos matemáticos.

Answer 1

Deja que me ocupe de tu primera pregunta. En primer lugar, quiero argumentar que no hay ningún significado preciso de "la participación de sólo números". Por ejemplo, dado un campo finito $F$ del tamaño de la $4$ construido de la manera habitual (cociente de un polinomio anillo de más de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$), puede elegir un conjunto de números, por ejemplo $$S=\{37,\tfrac{5}{19},\pi,e\}$$ y, la elección de un bijection de $S$$F$, el uso de transporte de estructura para dar a $S$ la estructura de un campo. La estructura del campo no depende de alguna manera de lo que el conjunto subyacente es "del".

Sin embargo, a lo largo de las líneas de lo que yo creo que son en última instancia después, usted puede obtener finito campos de cualquier posible orden de uso de un mayor anillos de enteros. Por ejemplo, $\mathbb{Z}[i]/(3)$ es un campo finito de tamaño $9$, e $\mathbb{Z}[i]$ consiste de un número razonable, $$\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\}.$$

Ahora, permítanme addressr su segunda pregunta. Vamos a usar $\mathbb{F}_p$ a la media de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, un campo finito de orden $p$ - es muy común en la notación que es un poco menos incómodo, pero no significa nada diferente, son sinónimos exactos.

Un campo finito de orden $p^n$ a menudo es construido por tomar el polinomio anillo de $\mathbb{F}_p[x]$, la elección de un polinomio irreducible $f\in \mathbb{F}_p[x]$ grado $n$, y, a continuación, haciendo el campo $$F=\mathbb{F}_p[x]/(f).$$ Ahora, el algoritmo de la división para polinomios le dice que cada clase de equivalencia en este cociente puede ser identificada por un representante de grado $<n$. En otras palabras, $$\begin{align*} F&=\{a_0+a_1x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}+(f)\mid a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{F}_p\}\\\\ &=\left\{\,\overline{a_0+a_1x+\cdots +a_{n-1}x^{n-1}}\,\;\middle\vert\;a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{F}_p\right\}\\\\\\ &=\{a_0+a_1\overline{x}+\cdots +a_{n-1}\overline{x}^{n-1}\mid a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{F}_p\} \end{align*}$$ Dejar que el símbolo $\alpha$ ser un soporte para $\overline{x}$, usted puede pensar de $F$ como $\mathbb{F}_p$ con un nuevo elemento "$\alpha$", agregó en donde $\alpha$ es una raíz de $f$, y se puede escribir $F=\mathbb{F}_p[\alpha]$.

Ahora, el primer subcampo de $F$ es sólo la "constante" de polinomios, es decir, aquellas con el no $\alpha$'s en ellos: $$\text{the prime subfield of }F=\{a_0+0\alpha+\cdots+0\alpha^{n-1}\mid a_0\in\mathbb{F}_p\}$$ y para cada divisor $d\mid n$, el único subcampo de $F$ orden $p^d$ es el conjunto de polinomios en $\alpha$, cuyos términos son los de los exponentes que son múltiplos de $n/d$: $$\text{the subfield of }F\text{ of order }p^d=\{a_0+a_1\alpha^{n/d}+\cdots+a_{d-1}\alpha^{(d-1)n/d}\mid a_0,a_1,\ldots,a_{d-1}\in\mathbb{F}_p\}$$ (claramente, el anterior conjunto tiene cardinalidad $p^d$, debido a que se tarda $d$ elementos de $\mathbb{F}_p$ especificar un determinado elemento de la anterior conjunto, es decir, cada uno de los coeficientes de las potencias de $\alpha$. A ver que es un campo, recuerde que $(a+b)^p=a^p+b^p$ en un campo de característica $p$.)

Answer 2

Hay sólo unos pocos candidatos (hasta el isomorfismo) para el prime campos: $\mathbb Q$ $\mathbb Z/p\mathbb Z$ $p$ prime. Si asumimos que el $F$ es finito, podemos identificar claramente como el conjunto de $$\{0,1, 1+1,\ldots, \underbrace{1+1+\ldots+1}_{p-1}\}\subseteq F$$ donde $p$ está determinado por el hecho de que $\underbrace{1+1+\ldots +1}_p=0$. Si $E$ es un subcampo de la $F$, $F$ es también un espacio vectorial sobre $E$. Especialmente, si $E$ es el primer campo llegamos a la conclusión de que $|F|=p^n$, los elementos de $F$ puede ser escrito como $n$-tuplas de elementos de $\mathbb Z/p\mathbb Z$, además es de las componentes como se esperaba, pero la multiplicación no es tan fácil de describir. Por ejemplo, podemos ver $GF(8)$ como el conjunto $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3$ con las componentes, además de complicado $$(a,b,c)+(d,e,f)=(a+d,b+e,c+f) $$ y algo arbitraria y multiplicación $$(a,b,c)\cdot(d,e,f) = (ad+bf+ce,ae+bd+bf+ce+cf,af+be+cd+cf).$$ Usted es libre de trabajar con esta definición y pasar una tarde de verificar el campo de los axiomas. Pero la vida es realmente más fácil si usted identificar a $a,b,c)$ $a+bX+cX^2$ y considerar polinomios en $\mathbb Z/2\mathbb Z[X]$ modulo $x^3+x+1$ y obtener las propiedades de campo de forma gratuita.

De nuevo, si $E$ es un subcampo, entonces llegamos a la conclusión de $|E|=p^m$ algunos $m$ como bueno, y como $F$ es un espacio vectorial sobre $E$, llegamos a la conclusión de $p^n$ es una potencia de $p^m$, es decir, $m$ divide $n$. Como $3$ es primo, no hay subcampos de $F=GF(2^3)$ otros que el primer campo y $F$ sí.

Uno puede mostrar que el grupo multiplicativo de a $F$ es cíclica, es decir, si uno trabaja con polinomios, $X$ es un claro generador) y cada subcampo $E$ corresponde a un subgrupo de este grupo cíclico, es decir, es generado por algún $X^d$$d|n$. En el ejemplo anterior $GF(8)$, el grupo multiplicativo tiene orden de $7$, por lo que no trivial subgrupos, por lo tanto vemos una vez más que no hay subcampos aparte de $F$ y el primer campo.

Answer 3

Si quieres ejemplos interesantes de finito campos y subcampos, carácter 2 ofrece Grundy números, también conocido como Nimbers, cuya aritmética es explorado en JH Conway "En Números y Juegos".

Ellos se presentan como valores de imparcial de los juegos, y por lo auténtico "números" en lugar de construcciones por polinomio, y vienen con las operaciones aritméticas que se derivan de la teoría de juegos de construcciones.