Encontrar la función de $f(x)$

Question

Dado $f(x)$ es una función derivable tal que $$f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x)$$ $\forall$ $x,y$ $\en$ $\mathbb{R}$ and $f'(0)=1$. Find $f(x)$

si ponemos $y=0$ tenemos

$$f(x)=e^xf(0)+f(x)$$ $\implica$ $$f(0)=0$$

si ponemos $x=-y$ tenemos $$f(0)=e^xf(-x)+e^{-x}f(x)$$ which $\implica$

$$e^xf(-x)=-e^{-x}f(x)$$ if we let $g(x)=e^{-x}f(x)$ we notice that $g$ is Odd function, so $g(0)=0$

También se da $f'(0)=1$ que es $$\lim_{h \to 0}\frac{f(h)}{h}=1$$ which can be written as $$\lim_{h \to 0}\frac{e^{-h}f(h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{g(h)}{h}=1$$ Hence $g'(0)=1$

Ahora, cualquier sugerencia de aquí para encontrar $f(x)$

Answer 1

Dado $$\displaystyle f(x+y) = e^{x}f(y)+e^{y}f(x)\Rightarrow \frac{f(x+y)}{e^{x+y}} = \frac{f(y)}{e^{y}}+\frac{f(x)}{e^x}$$

Ahora Pon $\displaystyle \frac{f(x)}{e^x} = g(x)\;,$, Entonces el funcional de la ecuación de convertir en

$\displaystyle g(x+y) = g(x)+g(y)$

Así es, una de Cauchy funcional de la ecuación cuya solución es $g(x) = cx$

Así, obtenemos $$\displaystyle \frac{f(x)}{e^x} = cx\Rightarrow f(x) = cxe^x$$

Así, obtenemos $f'(x) = c\left[xe^x+e^x\right]$

Ahora, dada $f'(0) = 1$. Así que pon $x=0$ en la ecuación anterior, obtenemos $1=c$

Así, obtenemos $$f(x) = xe^x$$