Necesito ayuda para demostrar que $f$ definido por $\langle f,\psi\rangle:= \sum_{n=0} ^\infty \psi^{(n)}(n)$ es una distribución que tiene singularidades de infinito de orden infinito. Aquí $\psi$ es una función de prueba que pertenece a $ \mathcal D(\Bbb R)$ .
Gracias.
Te daré la idea principal. Luego creo que puedes ocuparte de los detalles técnicos.
Es posible que ya sospeche que
$$ f=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \delta^{(n)}_n = \mathcal D - \lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=0}^{N} (-1)^n \delta^{(n)}_n $$
donde la igualdad y el límite se toman en el sentido de la distribución. Se puede comprobar que la distribución $S_N = \sum_{n=0}^{N} (-1)^n \delta^{(n)}_n$ está bien definido y también su límite $f$ .
Entonces, como $\delta^{(n)}_x$ es una distribución de orden $n$ , se obtiene automáticamente el resultado deseado.
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