Estoy luchando para entender el comportamiento de la transformada de Fourier (en el $x$ variable) de la inicialmente suave soluciones de la hiperbólico Burger ecuación en 1-D,
$ \partial_t u + u~ \partial_x u =0$ .
Voy a empezar con un suave y de rápida descomposición condición inicial $u(x,t)=u_0(x)$$\Bbb R$ . Esta solución evoluciona en el tiempo hasta que se rompe. En el momento de la primera avería $t=T$ I vistazo a la transformada de Fourier $\hat u(k,T)$ de la solución de $u(x,T)$.
En particular, estoy tratando de entender cómo y por qué la $L^p$ normas de la transformada de Fourier $\hat u$ siendo finito en el momento de la primera blow-up para $p>1$. Yo creo que si uno utiliza débil (o de Lorentz) normas, entonces esto no blow-up se extiende incluso a los débiles $L^1$ norma.
La única manera que he sido capaz de entender esta propiedad es a través de la convervation ley para la $L^\infty$ norma de $u$. Para el $\|u \|_{L^\infty} $ norma para definirse en el momento de la primera explosión, la transformada de Fourier debe permanecer en un débiles $L^1$ espacio. La interpolación se explica el resto.
Mi pregunta es si hay una manera de entender la no-blow-up de la citada $L^p$ normas de la transformada de Fourier $\hat u$ sin invocar la ley de la conservación de la $L^\infty$ norma de $u$.
Lo que busco es algún tipo de directa de Fourier-analítica manera de ver lo que está pasando. He llegado a un punto muerto.
Estaré muy agradecido por cualquier idea o consejo.
