Supongamos $E$ es simplemente conectado a abrir subconjunto de $\mathbb R^n$. Debe ser una secuencia de subconjuntos compactos $K_n$ tal que $E = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$, $K_n \subseteq K_{n+1}$ para todos los $n$, y cada una de las $K_n$ es simplemente conectado? Esto es trivialmente cierto si $n=1$, y es cierto si $n=2$ por el mapeo de Riemann teorema, pero topología puede ser contra-intuitivo en dimensiones superiores.
Respuesta
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Esto es falso en la dimensión 3, Whitehead colector es un ejemplo.
Una forma de ver que es de observar que simplemente se conecta compacto de 3 colectores conectados vacío límite son las bolas, mientras que Whitehead colectores no puede ser agotado por bolas.
Aquí está una más general del teorema:
Teorema. Supongamos que $M$ es simplemente conectado a 1-terminó conectado en 3 dimensiones del colector de que no es simplemente conectado al infinito (por ejemplo, Whitehead colector). A continuación, $M$ no admitir a un agotamiento simplemente conectado compacto submanifolds con límite.
Prueba. La suposición de que $M$ no está simplemente conectado al infinito significa que existe un subconjunto compacto $K\subset M$, de tal manera que para cada subconjunto compacto $K'\subset M$ contiene $K$, existe un bucle de $\gamma\subset M - K'$ que no tiene un contrato en $M-K$. Supongamos que tal $M$ admite un agotamiento simplemente conectado compacto submanifolds con límite de $M_i$. A continuación, el límite de cada una de las $M_i$ es un discontinuo de la unión de 2-esferas. De ello se sigue que para cada componente $C_i$$M-M_i$, el límite de $C_i$ es una 2-esfera. Por lo tanto, $\pi_1(C_i)\to \pi_1(M)$ es inyectiva. Pero esto se contradice con la propiedad de que la $M$ no está simplemente conectado al infinito. qed
Nota. En la solución que se supone que sólo está preguntando acerca de exhaustions compacto submanifolds con límite. (La prueba también funciona si se escape por simplicial subcomplejos.) Exhaustions por arbitraria de subconjuntos compactos sería mucho más difícil de analizar y no estoy seguro de cómo resolver el problema en este caso.
