Encontrar $\lim\limits_{x\to 0}{\frac{x+\ln (1-x)}{x^2}}$ sin derivados

Question

Si sabemos que $$\lim\limits_{x\to 1}{\frac{\ln x}{x-1}}=1$$ and $$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{x+\ln (1-x)}{x^2}}=l\in\mathbb{R}$$ find the value of $l$ sin derivados.

Sólo he logrado encontrar que: $$\lim\limits_{x\to 0}{\frac{\ln (1-x)}{x}}=-1$$ Cualquier sugerencia?

Answer 1

1. Cambio $x\to 0$ $(-x)\to 0$para obtener $$ \lim_{x\to 0}\frac {x+\ln(1+x)}{x^2}=l. $$
2. Agregar dos límites $$ 2 l=l+l=\lim_{x\to 0}\Bigl(\frac{x+\ln(1-x)}{x^2}+\frac {x+\ln(1+x)}{x^2}\Bigr)= \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1-x^2)}{x^2}. $$
3. Cambio $x^2=t\to 0$ para obtener $$ 2l=\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1-t)}{t}=-1. $$ Por lo tanto, $l=-\frac12$.