Probar las raíces de
$$x^4-2(a+b)x^2+(a-b)^2=0$$ son. $$x=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ $$x=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ $$x=-\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ $$x=-\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ En $a$ y $b$ son números reales (negativos o positivos)
Lo he demostrado sustituyendo $x=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ en la ecuación principal, pero creo que esta forma no es efectiva porque necesita repetirse cuatro veces para completar la demostración.
¿Hay alguna otra prueba eficaz.
Si $r$ y $s$ son soluciones de su ecuación, entonces consideramos que $r^2$ y $s^2$ : $$r^2+s^2=2(a+b)$$ y $$r^2s^2=(a-b)^2$$ Estas ecuaciones simultáneas pueden resolverse con bastante facilidad, lo que nos da dos fórmulas similares, con un $\pm$ para $r^2$ y $s^2$ . Tomando raíces cuadradas obtienes tus cuatro soluciones, con otra $\pm$ . Todo esto demuestra por qué las soluciones tienen una forma tan similar, con dos más o menos.
Una forma de comprobarlo con un mínimo de cálculos es expandir el producto $P(x) = \prod (x\pm\sqrt{a}\pm\sqrt{b})$ (donde el producto recorre todas las combinaciones de signos).
Tomando como variable $t_1 = x+\sqrt{a}$ y $t_2 = x-\sqrt{a}$ se convierte en
$$P(x) = (t_1 + \sqrt{b})(t_1-\sqrt{b})(t_2 + \sqrt{b})(t_2-\sqrt{b}) = (t_1^2 - b)(t_2^2 - b).$$
Ahora $t_1t_2 = x^2-a$ y $t_1^2 + t_2^2 = 2(x^2 + a)$ . Así que
$$P(x) = (x^2-a)^2 - 2b(x^2+a) + b^2 = x^4 - 2(a+b)x^2 +a^2 - 2ab + b^2. $$
Dicho esto, la respuesta de math110 es más bonita. De hecho, si lo lees así, es aún más obvio.
$$ \begin{aligned} x = \sqrt{a} + \sqrt{b} & \overset{\mathrm{square}}\implies x^2 = a^2 + b^2 + 2\sqrt{ab} \\ &\overset{\mathrm{rewrite}}\implies x^2 - a^2 - b^2 = 2\sqrt{ab} \\ &\overset{\mathrm{square}}\implies (x^2-a^2-b^2)^2 = 4ab. \end{aligned}$$
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