De cuántas maneras podemos par de nosotros mismos?

Question

Digamos que tenemos un número par de elementos y podemos clasificarlas en pares, en forma tal que cada elemento pertenece a un par y no hay elemento pertenece en dos pares.

Dado $2n$ elementos cuántos arreglos diferentes de este tipo puede ser hecho?

Por ejemplo, dados los elementos con nombre $1$, $2$, $3$ y $4$ podemos hacer $\{\{1,2\},\{3,4\}\}$, $\{\{1,3\},\{2,4\}\}$ y $\{\{1,4\},\{2,3\}\}$, por lo que tenemos $3$ arreglos diferentes.

Una conjetura he hecho es de las $\prod_{i=0}^{n-1} 2n-(1+2i)$.

La pregunta surge de forma tratando de averiguar en cuántas maneras puede la población de la tierra se agrupan en parejas en las que nadie (o en la mayoría de los pobres del ser humano) se queda solo.

Answer 1

Podemos empezar por mirar todas las maneras de organizar $2n$ números. Esto es $(2n)!$. A continuación, dentro de cada una de las $n$ pares, hay $2$ maneras de ordenar los números. Así que queremos dividir nuestro recuento $2^n$. Por último, no nos importa el orden de las $n$ pares, por lo que dividir aún más a nuestro recuento $n!$. Por lo que el número de emparejamientos de $2n$ números es

$$\dfrac{(2n)!}{2^nn!}.$$

Edit: Esto está de acuerdo con el OP de la respuesta de $\;\prod_{i=0}^{n-1} 2n-(1+2i)$.

Answer 2

$$\frac1{n!}\binom{2n}2\binom{2n-2}2\cdots\binom42\binom22=\frac{(2n)!}{2^nn!}$$

Escoge $2$ de todos los $2n$ para formar un par.

Después de que elija $2$ restante $2n-2$ para formar un par, et cetera.

A continuación, cada posibilidad que se ha contado $n!$ veces (hay $n!$ pedidos para los pares) por lo que se debe dividir por $n!$ a reparar esto.

Answer 3

Indicar el número en cuestión por $P_{2n}$. La persona número $1$ puede elegir a su compañero en $2n-1$ maneras. Después de que se $2n-2$ de la gente de izquierda, que puede ser encontrado a su pareja en $P_{2n-2}$ maneras. De ello se desprende que el $P_{2n}$ satisfacer la recursividad $$P_2=1,\qquad P_{2n}=(2n-1)\>P_{2n-2}\qquad(n>1)\ ,$$ que inmediatamente lleva a la "conjetura".

Answer 4

Agradezco todas las respuestas. Para cualquier persona interesada en cómo yo personalmente llegó a mi conjetura: me imaginaba una cadena por todos los elementos, vamos a llamar a $S$, y se dio cuenta de que cualquier emparejamiento puede ser uniquiely representado como otra cadena donde el $i$-ésimo elemento se combina con el $i$-ésimo elemento en $S$ (imaginar una cadena en la parte superior de la otra, los elementos alineados verticalmente pertenecen a la misma pareja). Este cuerdas sin embargo debe cumplir que si el elemento $a$ sats en la parte superior de $b$, luego en la parte superior de $a$ sólo podemos tener $b$. De hecho, cada cadena que obedece a esta regla únicamente determina un emparejamiento. Contando con ellos conducen a la respuesta.