En general, si quieres encontrar a $$ \int e^{ax}\cdot \sin{bx}\cdot dx$$ se puede argumentar de la siguiente manera:
Tenga en cuenta que para cualquier $\alpha$ o $\beta$, usted tiene
$$\eqalign{
& \frac{d}{{dx}}\left( {{e^{\alpha x}}\sin \beta x} \right) = \alpha {e^{\alpha x}}\sin \beta x + \beta {e^{\alpha x}}\cos \beta x \cr
& \frac{d}{{dx}}\left( {{e^{\alpha x}}\cos \beta x} \right) = \alpha {e^{\alpha x}}\cos \beta x - \beta {e^{\alpha x}}\sin \beta x \cr} $$
para que cualquier integrante de la forma
$$ \int e^{\alpha x}\cdot \sin{\beta x}\cdot dx$$
es una combinación lineal de la función anterior. Vamos, entonces, a encontrar $c_1$ $c_2$ tal que
$$\frac{d}{{dx}}\left( {{c_1}{e^{\alpha x}}\sin \beta x + {c_2}{e^{\alpha x}}\cos \beta x} \right) = {e^{\alpha x}}\sin \beta x$$
$${c_1}\alpha {e^{\alpha x}}\sin \beta x + {c_1}\beta {e^{\alpha x}}\cos \beta x + {c_2}\alpha {e^{\alpha x}}\cos \beta x - {c_2}\beta {e^{\alpha x}}\sin \beta x = {e^{\alpha x}}\sin \beta x$$
Esto significa que necesitamos
$$\eqalign{
& {c_1}\alpha - {c_2}\beta = 1 \cr
& {c_1}\beta + {c_2}\alpha = 0 \cr} $$
Este será el rendimiento con poco trabajo
$$\eqalign{
& {c_1} = \frac{\alpha }{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} \cr
& {c_2} = - \frac{\beta }{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} \cr} $$
lo que significa que, en general:
$$\int {{e^{\alpha x}}} \cdot\sin \beta x\cdot dx = {e^{\alpha x}}\frac{{\alpha \sin \beta x - \beta \cos \beta x}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} + C$$
De forma análoga, se consigue
$$\int {{e^{\alpha x}}} \cdot\cos \beta x\cdot dx = {e^{\alpha x}}\frac{{\alpha \cos \beta x + \beta \sin \beta x}}{{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}} + C$$
Espero que esto ayude!
