Encontrar los términos de la secuencia de $a_{n+1}=1+n/a_n$ que son números naturales

Question

Vamos a considerar la secuencia de $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, que se define por la siguiente relación de recurrencia: $$ a_{n+1} = \begin{cases} 1 + \frac{n}{a_{n}}\quad&n\gt0\\ 1&n=0 \end{casos} $$ Encontrar todos los términos de la secuencia que son números naturales.

Dos cosas a destacar aquí:

• una primera es que el $a_{n}$ $\infty$ al$n$$\infty$,
• y el segundo punto es que el producto de la primera $k$ términos de la secuencia es un número entero.

Esto es todo lo que tengo hasta ahora.

Answer 1

Obvio valores enteros son $a_1=1$, $a_2=a_3=2$. Voy a demostrar que estos son los únicos.

En primer lugar, tomamos nota de que, si $a_n<a_{n+1}$, luego $$a_n(a_n-1)<a_n(a_{n+1}-1)=n<a_{n+1}(a_{n+1}-1).$$ Si $a_{n-1}<a_n<a_{n+1}$, esto nos da $$a_{n-1}(a_n-1)=n-1<a_n(a_n-1)<a_n(a_{n+1}-1)=n;$$ si $a_n$ era un entero, entonces así que $a_n(a_n-1)$, por lo tanto, $a_n$ no puede ser un número entero en este caso. Por lo tanto, todo lo que tenemos que mostrar es que el $a_n$ es estrictamente creciente para $n\ge3$.

Estoy seguro de que hay muchas maneras de probar que $a_n$ es estrictamente creciente para $n\ge3$, muchos de los cuales serán de carácter puramente técnico. Hasta ahora, mis ideas son de todo centrado alrededor de $a_n(a_n-1)\approx n-1/2$, lo que supondría en sí mismo, han bastado para demostrar $a_n$ integral, y han conseguido bastante desordenado. Voy a ver si me puede venir para arriba con un buen uno.

Edit: creo que tengo una prueba ahora que $a_n$ es estrictamente creciente para $n\ge3$.

Deje $p_n(x)=x(x-1)-n$. Este es el aumento de $x\ge1/2$, y ha positiva raíz de $x_n=1/2+\sqrt{n+1/4}$. A continuación, podemos hacer la inducción en $x_{n-1}<a_n<x_n$.

Desde $x_n(x_n-1)=n$ $a_n(a_{n+1}-1)=n$ si $a_n<x_n$,$a_{n+1}>x_n$.

si $a_n>x_{n-1}$, obtenemos $$a_{n+1}-1=\frac{n}{a_n}<\frac{n}{x_{n-1}}<x_{n+1}-1\Rightarrow a_{n+1}<x_{n+1}$$ donde el último paso se basa en la $x_{n-1}(x_{n+1}-1)>n$, lo que puede ser demostrado por $n>1$ conectando los valores.

Desde $x_n$ están aumentando y $x_3<a_4<x_4$, se sigue por la inducción que $x_{n-1}<a_n<x_n$ todos los $n\ge4$, por lo tanto, $a_n<x_n<a_{n+1}$. Para $n=3$ tenemos $x_2=a_3=2<x_3$.

Cómo se me ocurrió la idea en el primer lugar?

Yo calculadas $a_n$ numéricamente (utilizando Maple), y rápidamente encontró que $a_n(a_n-1)\approx n-1/2$. Esto me llevó a pensar de la prueba de la $a_n(a_n-1)$ no fue un entero ya que este parecía ser cierto por un amplio margen. El acercamiento de fuerza bruta, que es lo que empecé tratando, habría sido mostrar esta demostrando que la aproximación es suficientemente precisa. Sin embargo, puesto que ya había observado que $a_n$ fue en aumento, comparando $x_n(x_n-1)$ $x_n(x_{n+1}-1)=n$la manera en que lo hice fue bastante evidente.