Un grupo cíclico infinito tiene exactamente dos generadores.

Question

Pregunta: Un grupo cíclico infinito tiene exactamente dos generadores.

Respuesta: Supongamos que $G=\langle a\rangle$ es un grupo cíclico infinito. Si $b=a^{n}\in G$ es un generador de $G$ entonces como $a\in G,\ a=b^{m}={(a^{n})}^{m}=a^{nm}$ para algunos $m\in Z$ .

$\therefore$ Tenemos $a^{nm-1}=e.$

(Sabemos que el grupo cíclico $G=\langle a\rangle$ es infinito si y sólo si $0$ es el único número entero para el que $a^{0}=e$ .) Entonces, tenemos, $nm-1=0\Rightarrow nm=1.$ Como $n$ y $m$ son enteros, tenemos $n=1,n=-1.$

Ahora, $n=1$ da $b=a$ que ya es un generador y $n=-1$ da $$H=\langle a^{-1}\rangle =\{(a^{-1})^{j}\mid j\in Z\} =\{a^{k}\mid k\in Z\}=G$$ Es decir $a^{-1}$ también es generador de $g$

Mi pregunta es si estoy enfocando esta cuestión correctamente.

Answer 1

Creo que te estás confundiendo en el camino.

Quiere demostrar que si $G$ es un grupo cíclico infinito, entonces tiene exactamente dos generadores. Esto se puede hacer demostrando dos cosas: que hay como máximo dos generadores, y luego exhibir dos generadores.

Exponer dos generadores es fácil: si $G=\langle a\rangle$ entonces $a$ y $a^{-1}$ ambos generan; y $a\neq a^{-1}$ ya que $a$ tiene un orden infinito.

El grueso de su argumento es un intento de mostrar la otros dirección, es decir, que está tratando de mostrar:

Si $a^n$ genera $G$ entonces $n=1$ o $n=-1$ .

Lo analizas correctamente hasta el final del párrafo que comienza con una observación parentética. Concluye con éxito $n=1$ o $n=-1$ . Así que has terminado.

Pero luego parece que te confundes y sigues argumentando; ya has terminado de demostrar que hay como mucho dos generadores, así que ahí debería terminar la prueba.

Si la segunda parte de la prueba pretendía ser lo que mi primera parte, entonces no eres claro en la primera parte. Debería haber una explícito declaración en la que dice que su argumento demuestra que hay a lo sumo dos generadores. Por último, también está la cuestión de señalar que $a\neq a^{-1}$ (que es fácil, pero hay que decirlo).