En una expresión algebraica de la categoría a de morfismos es un habitual de epi iff es surjective

Question

De acuerdo a la nLab (véase el 4º punto bajo "Ejemplos") en una "algebraica de la categoría" a morfismos es un habitual de epi si y sólo si es surjective. Aquí una de morfismos $e$ se dice que surjective, si su función subyacente $U(e)$ es.

No hay una definición (o quizás varias definiciones?) dado por el término "algebraica de la categoría". Yo quiero probar el teorema anterior, donde puedo reemplazar "es una expresión algebraica de la categoría de" algunos "razonable" y "razonablemente débil supuestos" para un hormigón categoría $(\mathcal{A}, U : \mathcal{A}\to \mathsf{Set})$.

Aquí están algunas ideas:

Deje $e : A \to E$ ser un habitual de epi y asumir, que no es un objeto $S$ $\mathcal{A}$ que es gratuito en el singleton $1$, que es: Hay un mapa de $\eta : 1 \to U(S)$ tal que para todos los objetos de $A$ $\mathcal{A}$ y mapas de $y : 1 \to U(A)$, no hay una única morfismos $\bar{y} : S \to A$$\mathcal{A}$, de tal manera que $U(\bar{y}) \circ \eta = y$. Deje $y\in U(E)$. A continuación, $y$ "es" una de morfismos $y : 1 \to U(E)$, por lo tanto, hay una correspondiente morfismos $\bar{y} : S\to E$. Bajo ciertos supuestos (axioma de elección?) $S$ es, de hecho, regularmente proyectiva, en particular, no existe un morfismos $x : S \to A$, de tal manera que $e\circ x = \bar{y}$. A continuación, $U(x) \circ \eta : 1\to U(A)$ "es" un elemento de $U(A)$ y, además,$U(e)\circ (U(x) \circ \eta) = U(e\circ x)\circ \eta = U(\bar{y})\circ \eta = y$, por lo tanto $U(e)$ es surjective.

Conversily, vamos a $U(e)$ ser surjective. Supongamos $e$ tiene un núcleo par $(P,p_1,p_2)$ y $U$ preserva límites ($U$ está representado por $S$). Deje $q : A \to Q$ ser tal que $q\circ p_1 = q\circ p_2$. A continuación, $(U(P),U(p_1),U(p_2))$ es un kernel par de $U(e)$, debido a $U$ conserva el kernel de pares. Además $U(e)$ es surjective, por lo regular epi y por lo tanto la coequalizer de $U(p_1),U(p_2)$, e $U(q)\circ U(p_1) = U(q)\circ U(p_2)$, de modo que existe un único mapa $\tilde{u} : U(E) \to U(Q)$, tal que $\tilde{u} \circ U(e) = U(q)$. Una de morfismos $u : E \to Q$ $u\circ e = q$ es único, ya que, a continuación,$U(u) = \tilde{u}$. Ahora muestra que un $u$ $U(u) = \tilde{u}$ existe sigue siendo.

¿Cómo puedo llenar los agujeros de esta prueba la idea de hacer una prueba real?

Una parte de esta pregunta es, ¿qué suposición de que realmente necesita, y, en particular, las siguientes cosas son claras:

• si o cuando $S$ es regularmente proyectiva y si yo en realidad necesidad de que
• si o cuando el $\tilde{u}$ puede ser extendida a una de morfismos $u$

Cualquier alternativa sugerencias son bienvenidas.

Answer 1

Un conjunto razonable de los supuestos es que

1. $U$ es representable por un objeto $s$ (libre de objetos en un elemento),
2. $U$ es conservador, y
3. $A$ , e $U$ conserva, reflexiva coequalizers.

Este es el caso, sobre todo si $A$ es la categoría de modelos de Lawvere de la teoría, o algo más general, de la categoría de álgebras de una mónada preservar reflexiva coequalizers. Por el contrario, por el crudo monadicity teorema, con la anterior hipótesis (junto con la hipótesis de que la $A$ tiene todos los co-productos), el functor $U$ es monádico, y la mónada conserva reflexiva coequalizers.

Un ejemplo donde la anterior hipótesis de que no se mantenga la es $A = \text{Top}$, donde la única hipótesis que no es conservativity. Aquí el regular epis son el cociente de los mapas, pero hay muchos surjective continua mapas que no son cociente de mapas.

A partir de aquí el importante técnicos de hecho, es el siguiente.

Lema: Un conservador functor refleja ningún tipo de límites o colimits conserva.

Por lo tanto, con la anterior hipótesis, $U$ se conserva y se refleja en el kernel de pares y reflexiva coequalizers, que implica que tanto se conserva y se refleja regular epimorphisms (porque el coequalizer de un núcleo de par es siempre reflexiva).

Por supuesto, para aplicar esta norma a un familiar de casos como los grupos, usted necesita una manera de verificar que el $U$ conserva reflexiva coequalizers. Una más general resultado, usted puede probar es que el olvidadizo functor de modelos de Lawvere la teoría a la $\text{Set}$ conserva cernida colimits (básicamente porque estos conmuta con finito de productos en $\text{Set}$).

Tan lejos como regular projectivity va, $s$ es regular proyectivo si y sólo si $U$ conserva regular epimorphisms más o menos por definición, por lo que sólo una reformulación de la pregunta en una dirección.

Si quieres una referencia, Corolario 3.5.3 en Borceux Volumen II cubre el caso de Lawvere teorías.