¿Cuál es la solución general para las integrales de la forma $\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2 m}\;\ln^{n}(x) }{e^{\frac{2 p +1}{2}x}} dx$?

Question

Tengo esta integral

$$\int_0^\infty \frac{x^{2 m}\;\ln^n (x) }{e^{\frac{2 p +1}{2}x}} dx\;\; m,n,p \in \mathbb{N}$$

y yo'like saber la solución general.

De WolframAlpha tengo algunas soluciones, por ejemplo

$$\int_0^\infty \frac{x^2\ln(x)}{e^{\frac{3x}{2}}} dx = \frac{8}{27}\left(3-2\gamma-\ln\left(\frac{9}{4}\right)\right) $$ y

$$\int_0^\infty \frac{x^{2}\ln^{2}(x)}{e^{\frac{3x}{2}}} dx = \frac{8}{81}\left(6-18\gamma+6\gamma^{2}+\pi^{2}-6 \ln \left(\frac{3}{2}\right)\left(3-2\gamma-\ln\left(\frac{3}{2}\right)\right) \right) $$

etc... pero me gustaría saber la forma general de la solución y el proceso/método para llegar allí. Tenga en cuenta que $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.

Gracias.

Answer 1

Cambiemos un poco de su integral :
Conjunto $a:=2m$, $b:=\frac{2 p +1}{2}$ entonces

$$\int_0^\infty \frac{x^{2 m}\ln^{n}(x)}{e^{\frac{2 p +1}{2}x}}\, dx=\int_0^\infty x^a\ln^{n}(x)e^{-bx}\, dx$$ $$=\int_0^\infty \left(\frac d{da}\right)^n e^{a\ln(x)}e^{-bx}\, dx$$ $$=\left(\frac d{da}\right)^n \int_0^\infty x^a e^{-bx}\, dx$$ $$=\left(\frac d{da}\right)^n \left(b^{-a-1}\int_0^\infty t^a e^{-t}\, dt\right)$$ $$=\left(\frac d{da}\right)^n \left(b^{-a-1}\Gamma(a+1)\right)$$

Un truco común para calcular los $\Gamma'(x)$ y derivados es el uso de $\psi(x)=\log(\Gamma(x))'= \dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$
(con $\psi$ la función Digamma y los derivados de la Polygamma función), de modo que
$\Gamma'(x)=\psi(x)\Gamma(x)$,
$\Gamma''(x)=\left(\psi'(x)+\psi(x)^2\right)\Gamma(x)$
y así sucesivamente...

Vamos a considerar algunos ejemplos de $I(n,a,b)=\left(\dfrac d{da}\right)^n \left(b^{-a-1}\Gamma(a+1)\right)$

• $n=1$ : $$I(1,a,b)=b^{-a-1}\left[-\ln(b)+\psi(1+a)\right]\Gamma(a+1)$$ llegar a una generalización de su primer ejemplo (el caso de $a=2,b=\frac 32$) :
  $$I(1,2,\frac 32)=\left(\frac 32\right)^{-3}\left[-\ln\left(\frac 32\right)+\psi(3)\right]\Gamma(3)$$ con $\psi(3)=H_2-\gamma=1+\frac 12-\gamma$.

• $n=2$ : $$I(2,a,b)=b^{-a-1}\left(\psi'(1+a) + \psi(1+a)^2 - 2\ln(b)\psi(1+a)+\ln(b)^2\right)\Gamma(a+1)$$ $\cdots$