- Es el impulso operador $P=-i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ simétrica cuando restringida al intervalo compacto de el pozo? Hay sutilezas en su definición, a través de su dominio o similares, que no están presentes para la verdadera versión de la línea?
(Yo en lo sucesivo asuma el espacio de Hilbert es $L^2([0,1],dx)$.)
Depende de la definición precisa del dominio de $P$. Un natural de elección es $$D(P) = \{\psi \in C^2([0,1])\:|\: \psi(0)=\psi(1)=0\}\:.\tag{1}$$
Con esta definición $P$ es simétrica: (a) el dominio es denso en $L^2([0,1], dx)$ y (b) el operador es Hermitian $$\langle P\psi| \phi \rangle = \langle \psi| P\phi \rangle\quad \mbox{for $\psi \phi \D(P)\:.$}\tag{2}$$
Usted puede considerar las diferentes definiciones del dominio más o menos equivalente. El punto es que la auto-adjunto de extensión están relacionados con el cierre de $P$ e no $P$ sí, y usted puede tener varias posibilidades para obtener el mismo cierre que indica a partir de diferentes dominios. La situación es similar a lo que ocurre en la recta real. No $P$ puede ser definido como un operador diferencial en $C_0^\infty(\mathbb R)$ o $\cal S(\mathbb R)$ (Schwartz espacio) o $C^1_0(\mathbb R)$ y también en la interpretación de la derivada en el sentido débil. En todos los casos el cierre de $P$ es el mismo.
- Es el impulso operador $P=-i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ auto-adjunto en estas condiciones? Si no, ¿por qué no, y cuáles son las consecuencias en términos de las cosas que normalmente la atención acerca de cuando se hace una dimensión QM?
No es auto-adjunto con el dijo que la elección de su dominio (o con cada trivial modificación de ese dominio). La consecuencia es que no admite una descomposición espectral , tal y como está y por lo tanto no es un observable ya que no hay PVM asociados con él.
La definición de $P= -i \hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ sobre la línea real con uno de los de dominio se dijo anteriormente, el mismo problema se plantea.
El hecho general es que los operadores diferenciales nunca se auto-adjoint porque el adjunto de un operador diferencial no es un operador diferencial, ya que no puede distinguir entre liso y no liso funciones, debido a que los elementos de $L^2$ son funciones hasta cero medir conjuntos. En la mayoría de los simétrica diferencial operador puede ser esencialmente auto-adjunto, es decir, se admite un único auto-adjunto de extensión (que coincide con el cierre de la inicial del operador). Este singular auto-adjunto del operador es el verdadero observables de la teoría.
Sí. La forma canónica es la comprobación de si el defecto índices de $P$ con dominio de (1) son iguales y que son. Pero el camino más corto consiste en la invocación de un teorema de von Neumann:
Si un (densamente definido) simétrica operador conmuta con un antilinear operador $C$ definida en todo el espacio de Hilbert y de tal manera que $CC=I$, entonces el operador admite la auto-adjunto extensiones.
En este caso, $(C\psi)(x):= \overline{\psi(1-x)}$ satisface la hipótesis.
Si lo hace, es que la extensión de único?
NO no lo es, el operador no es esencialmente auto-adjunto.
Si la extensión no es el único, ¿cuáles son las diferentes opciones posibles, y cuáles son sus diferencias? Hacer esas diferencias llevar significado físico / asociaciones / consecuencias? Y lo que es un uno mismo-adjoint extensión de todos modos, y donde puedo leer acerca de ellos?
Hay una clase de auto-adjunto extensiones de parametrizadas por elementos de la $\chi$$U(1)$. Estas extensiones se definen en la correspondiente extensión del dominio
$$D_\chi(P) := \{\psi \in L^2([0,1],dx)\:|\:\psi' \mbox{exists a.e., is $L^2$ and $\psi(1) = \chi\psi(0)$} \}\:. $$
(Es posible demostrar que con dicha definición de $D_\chi$ la definición es consistente: $\psi$ es continua, de modo que $\psi(0)$ $\psi(1)$ tiene sentido.)
A continuación el auto-adjunto de extensión de $P$ $D_\chi(P)$ es de nuevo $-i\hbar \frac{d}{dx}$ donde la derivada se interpreta en sentido débil.
El caso más simple es $\chi=1$ y tiene el estándar de impulso operador con periódicos de las condiciones de contorno, que es auto-adjunto. El otro yo-adjoint extensiones son triviales cambios de esta definición. No sé el significado físico de estas diferentes opciones (si alguno): la teoría es demasiado elemental en esta etapa imaginar que algunos interpretación física. Tal vez con un modelo mejorado de una interpretación física surge.
- ¿Qué es el espectro y vectores propios de el impulso que el operador y sus extensiones? ¿En qué se diferencian unos de otros? Existe tal cosa como un impulso representación en esta configuración? Si no, ¿por qué no?
Usted puede fácilmente calcular el espectro, que es un puro punto de espectro y los vectores propios se desplazan exponenciales. Si $\chi = e^{i \alpha}$ donde $\alpha \in \mathbb R$, y se denota por a $P_\alpha$ de los asociados a la auto-adjunto de extensión de $P$ un conjunto de vectores propios es
$$\psi^{(\alpha)}_n(x) = e^{i(\alpha + 2\pi n)x}$$
con autovalores
$$p^{(\alpha)}_n := \hbar(\alpha + 2\pi n)\quad n \in \mathbb Z\::$$
El conjunto de la $\psi^{(\alpha)}_n$ es una base de Hilbert, porque está conectado con el estándar de la base de exponenciales por medio de la central unitaria de operador $(U_\alpha \psi)(x) = e^{i\alpha x} \psi(x)$. Esencialmente Nelson y teorema de la descomposición espectral teorema de demostrar que $P_\alpha$ tiene pura punto de espectro de los reales $p_n^{(\alpha)}$.
Por lo que un impulso representación existe como usted inmediatamente puede demostrar.
- ¿Cuál es la relación entre el impulso del operador (y sus posibles extensiones) y el hamiltoniano?
Como usted sabe, si usted comienza formulario de $H := -\hbar \frac{d^2}{dx^2}$ $D(H):= \{\psi \in C^2([0,1]) \:|\: \psi(0)=\psi(1) =0\}$ (asumo $2m=1$)
este es esencialmente auto-adjunto, a pesar de que el correspondiente impulso operador de dominio (1) no lo es. (La prueba de inmediato surge de Nelson del teorema desde $H$ es simétrica y admite una base de Hilbert de funciones propias.)
Sin embargo, también existen diferentes candidatos para el operador Hamiltoniano derivadas por tomar la segunda potencia de cada uno de los auto-adjunto de extensión de $P$ con dominio (1). El espectro es el hecho de que el segundo poderes de los elementos del espectro de la correspondiente seof-adjoint extensión de $\hbar^2(\alpha + 2\pi n)^2$
Hacer que ir a trabajar? Hacer que comparten una base?
Impulso y asociados Hamiltonianos viaje y una base común es que el anterior escrito por el impulso.
Diferentes auto-adjunto extensiones y diferentes Hamiltonianos no conmutan como demostrar fácilmente por inspección directa.
- ¿Estos problemas tienen su contraparte o explicaciones de la mecánica clásica? (codazo, codazo)
No sé
Y, lo que es más importante: ¿cuáles son buena, completa y legible de las referencias donde uno puede ir y obtener más información acerca de esto?
No sé, muchos de los resultados se extendió en la literatura. Es difícil recopilar todos ellos. Una buena referencia es la Caña y el de Simón libros de texto Vol I y II.
