¿Acaso no le gusta el fuego?

Question

Esta pregunta fue inspirado por esta cuestión.

Realmente hace sentido decir que un sistema formal tiene un cierto número de axiomas, es decir, en tres, o diez, etc? E. g., tomar un sistema formal que admite conjunción de eliminación y se ha axiomas $ A_1, A_2,..., A_n $. Pero un sistema formal que tiene el único axioma $ A_1\wedge A_2\wedge ...\wedge A_n $ es esencialmente el mismo sistema formal!

Así, es el concepto de número de axiomas en un sistema formal subjetiva, como no lo es ningún objetivo diferencia entre un lexema y un teorema?

P. S. estoy, de hecho, hablando de finitely axiomatizable sistemas formales sólo. I. e. cuando digo "axiomas", me refiero a ella - no hay axioma esquemas permitidos.

Answer 1

Sin duda, si te doy un sistema formal con una lista explícita de los axiomas, dicen que 42 de ellos, entonces tiene sentido decir que el sistema tiene 42 axiomas. Es difícil discutir que.

Pero hacer una buena observación, que hay muchos equivalente sistemas formales con todo tipo de diferentes números de axiomas. Para ser más precisos, digamos, dos sistemas formales (usando los mismos símbolos) son equivalentes si demostrar exactamente el mismo teoremas. Es a menudo útil considerar que los sistemas formales sólo hasta equivalencia, cuando lo que importa es que los teoremas se demuestran, no de sus presentaciones.

Así que la pregunta es realmente acerca de si por el sistema formal, se refiere a "define explícitamente sistema formal" o "sistema formal hasta equivalencia". El primero tiene una bien definida número de axiomas, la segunda no.

Answer 2

Si el paso fuera de la lógica booleana y mirar varios valores de la lógica, hay lugares donde tener un conjunto (por ejemplo, en BL (http://en.wikipedia.org/wiki/BL_%28logic%29) si en conjunción con los axiomas con lo que se conoce como fuerte conjunción) es diferente de tener los axiomas por separado (es decir, los conjuntos de deducciones no coinciden correctamente).

En el caso booleano, el número de axiomas (estoy hablando de finito axiomatizations como se pide en la pregunta) en realidad no importa si usted está interesado en los teoremas. Pero la derivación de una prueba (en un sistema formal) serán diferentes. Sin embargo, hay una buena razón para dividir los axiomas y hablar de ellos por separado; la mente humana sólo trata con que enfoque mejor.

Answer 3

En primer lugar, vamos a poner las cosas en claro y señalar que no todos los teoremas son la misma, incluso desde un punto de vista sintáctico. Algunos teoremas puede servir como un único axioma de algún sistema lógico en el sentido de que bajo alguna regla de inferencia, algunos teorema puede obtener generado a partir de ese axioma que no es una sustitución de la instancia de la axiología. Otros teoremas no puede generar nada debajo de esa misma norma.

Por ejemplo, en algunos sistemas con destacamento en la regla de inferencia, CCpqCCqrCpr es un teorema. Si el sistema tiene countably infinitas variables, el sistema {CCpqCCqrCpr} bajo el desapego y la sustitución tiene countably infinito teorema que no son la sustitución de la instancia de CCpqCCqrCpr. Por otro lado, en algunos sistemas CCCpqpp es un teorema. Pero, el sistema {CCCpqpp} sólo ha sustitución instancia de CCCpqpp como teoremas.

Ahora una parte de un sistema formal, de acuerdo a Wikipedia consiste en su aparato deductivo. El aparato deductivo consta de los axiomas y/o reglas de inferencia del sistema formal. Por lo tanto, si los axiomas diferentes, tenemos diferentes deductivo aparato. En consecuencia, aunque las consecuencias de dos deductivo aparatos puede terminar de la misma, el deductivo aparatos diferentes y, en consecuencia, los sistemas formales diferentes. Axiomas también difieren de los teoremas en los que pertenecen al aparato deductivo, mientras que los teoremas no (al menos según la definición de Wikipedia). Además, en términos de demostrar ciertos teoremas, o lo que puede/se ha vuelto llama el desarrollo de un sistema formal, los sistemas pueden diferir en el que algunos teorema puede venir como comprobable en menos pasos en el sistema a que en el sistema B.

Así que, no, el concepto de que el número de axiomas en un sistema formal no es subjetivo. Y sí tiene sentido decir que un sistema formal tiene un cierto número de axiomas.