Deje $R$ ser un anillo conmutativo con 1. Bajo qué condiciones se $R$-mod (la categoría de $R$-módulos) y $R$-mod-$R$ (la categoría de $R$-$R$ bimodules) equivalente como categorías?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Matt Dawdy
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La categoría de $(R, R)$-bimodules es equivalente a la categoría de $R \otimes_{\mathbb{Z}} R$-módulos por la característica universal del producto tensor (ya que no hay distinción entre una izquierda y una derecha la acción de un anillo conmutativo). Por otra parte, es posible recuperar un anillo conmutativo de su categoría de módulos (ostensiblemente como $\text{Ab}$enriquecido con la categoría, pero en realidad, usted sólo necesita saber lo que se ve como un ordinario de la categoría, aunque el argumento que tengo en mente es ligeramente implicado).
Por lo que una condición necesaria y suficiente es que $R$ es isomorfo a $R \otimes_{\mathbb{Z}} R$. Por ejemplo, $R = \mathbb{Z}$ $R = \mathbb{Z}[x_1, x_2, ... ]$ tienen esta propiedad.
