Hay una teoría acerca de las funciones cuyos resultados son "negativos" a los resultados de otras funciones?

Question

Supongamos que tenemos una función de $x \cdot 2$, lo que da resultados: $2,4,6,8,10,\ldots$. Podemos construir "negativo" de la función de $x \cdot 2-1$, que los resultados serán los siguientes: $1,3,5,7,9,\ldots$. Por lo que todos los números naturales será la suma de ambos resultados. Pero podría ser un "negativo" de la función de ser creado por $x \cdot 3$? Hay una teoría que analizar?

Agregado: Un intento más en la explicación de lo qué me refiero: Cada función tiene un conjunto de resultados. Los conjuntos se pueden combinar como cualquier conjuntos. Ahora la pregunta es: ¿ha sido inventado cualquiera de los métodos y/o de la teoría detrás de ellos, que permita la transformación de una función a otra, basada en la relación de sus conjuntos. Así que en mi ejemplo: yo sé que la función de $x*2$ y su conjunto de resultados, y me gustaría encontrar otra función que conjunto de "completo" de los números naturales. Sé que sería de $x*2-1$, pero es sólo intuición. Cómo podría saber que tipo de función para la $x*3$? Estoy buscando teoría y métodos que sirvan de guía a mí la solución para ese tipo de problemas.

Answer 1

Permítanme tratar de formalizar su pregunta.

Llame a $A \subseteq \mathbb{N}$ cofinal iff para todos los números naturales $n$ existe $a \in A$ tal que $a \geq n$. Llame a $A$ doblemente cofinal iff tanto $A$ $A^c$ son cofinal. Siempre que $A \subseteq \mathbb{N}$ es cofinal, permite escribir $\underline{A} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ correspondiente a la "enumeración de la función."

Por ejemplo:

$$\underline{2\mathbb{N}}(n) = 2n, \qquad \underline{(2\mathbb{N})^c}(n) = 2n-1$$

Su pregunta, en esencia:

Pregunta. ¿Hay alguna teoría que rodea el siguiente problema?

Dado un conjunto $A \subseteq \mathbb{N}$ que es doblemente cofinal, de tal manera que una simple y directa expresión es conocida por la función de $\underline{A},$ encontrar una forma simple y sencilla expresión de $\underline{A^c}.$

Por ejemplo, es claro que:

$$\underline{3\mathbb{N}}(n) = 3n$$

Pero le gustaría ser capaz de escribir: $$\underline{(3\mathbb{N})^c}(n) = \;???$$, donde los signos de pregunta son reemplazados por algo simple y útil.

No sé la respuesta a esta pregunta, pero parece natural y que vale la pena lo que hay que pensar. +1

Edit. Parece posible que

$$\underline{(3\mathbb{N})^c}(n) = \mathrm{floor}\frac{n+2}{3}+\mathrm{floor}\frac{n+1}{3}$$

Answer 2

Escribir $\mathbb N^+$ para denotar el conjunto de los números enteros mayores que cero (los enteros positivos). Supongamos $f: \mathbb N^+ \to \mathbb N^+$ es una función creciente, por lo que se enumera un subconjunto de a$\mathbb N^+$, en orden creciente.

Escribir $f(\mathbb N^+)$ para denotar la imagen de $f$. Una función $f^\complement: \mathbb N^+ \to \mathbb N^+$ cuya imagen es el complemento de la imagen de $f$$\mathbb N^+$, es decir, $f^\complement(\mathbb N^+)\cup f(\mathbb N^+) = \mathbb N^+$ y $f^\complement(\mathbb N^+)\cap f(\mathbb N^+) = \emptyset$.

El conjunto de la $f(n)$ elementos más pequeños de $\mathbb N^+$ es la unión del conjunto de la $n$ elementos más pequeños de $f(\mathbb N^+)$ (el $n$ más pequeño de los números se puede producir mediante la toma de $f(x)$) y el $f(n) - n$ elementos más pequeños de $f^\complement(\mathbb N^+)$. Es decir, si $f(n) > n$, los enteros $\{1,\ldots,f(n)\}$ incluir los números enteros $\{f^\complement(1),\ldots,f^\complement(f(n)-n)\}$ pero no $f^\complement(f(n)-n+1)$. Es decir, $f^\complement(x) > f(n)$ si y sólo si $x > f(n) - n$, es decir, $x + n > f(n)$

Así que una manera en que podemos estar seguro de encontrar el valor de $f^\complement(x)$ es encontrar el mínimo de $n$ tal que $x + n \leq f(n)$. Esto asegura que para este valor de $n$, $f^\complement(x) < f(n)$ (la definición de " $f^\complement$ las normas de igualdad) y si $n > 1$,$f(n - 1) < f^\complement(x)$. Para $n > 1$, entonces, no son exactamente $n - 1$ de los miembros de $f(\mathbb N^+)$ que son menos de $f^\complement(x)$, es decir, la función $f^\complement$ "salta" $n-1$ números de menos de $f^\complement(x)$. De ello se desprende que $f^\complement(x) = x + n - 1.$ Y si $n = 1$,$f^\complement(x) < f(1)$, los números no son "omitido", y $f^\complement(x) = x = x + n - 1$.

La conclusión es: si $n$ es el menor entero tal que $x + n \leq f(n)$, a continuación, $f^\complement(x) = x + n - 1.$

La frase "$n$ es el menor entero tal que $x + n \leq f(n)$" puede ser escrito $$ n = \min \{t\in\mathbb N^+ \mid x + t \leq f(t) \} $$ y así $$ f^\complementar(x) = x + \min \{t\in\mathbb N^+ \mid x + t \leq f(t) \} - 1. $$

Esto podría no ser la manera en que usted estaba esperando para escribir el buscado de la función, pero en realidad, es una fórmula relativamente sencilla.

Una fórmula que en el caso particular $f: x \mapsto 3x$ que usted puede ser que como es $$ f^\complementar(x) = \left\lfloor \frac{3x - 1}{2} \right\rfloor, $$ donde $\lfloor y\rfloor$ significa que el mayor entero que no es mayor que $y$.

El camino me encontré con esta fórmula fue considerar que en la primera $3n$ enteros positivos, $n$ de ellos están en la imagen de $f$ $2n$ en la imagen de $f^\complement$; en promedio, $f^\complement(x)$ debe aumentar por $3$ por cada vez que añadimos $2$$x$. Esto le da a la aproximación de $f^\complement(x) \approx \frac32 x$. Para hacerlo exacto, aplicamos $\lfloor\cdot\rfloor$ (lo que hace que todos los resultados sean enteros) y "ajustar" los resultados por añadir o restar una constante término dentro de los corchetes así que la respuesta sale a la derecha. En particular, $\left\lfloor\frac32\cdot2\right\rfloor = 3$, pero $f^\complement(2) = 2$, lo que indica que debemos restar algo de $\frac32\cdot2$; pero $f^\complement(1) = 1$, por lo que la mayoría de nosotros puede restar es $\frac12$ (debido a $\frac32\cdot1 - 1 = \frac12$). Así que tratamos de $\left\lfloor\frac32 x - \frac12\right\rfloor$, simplificar a $\left\lfloor\frac{3x - 1}{2}\right\rfloor$, y comprobar que funciona, que es lo que hace.