Cómo encontrar una aproximación a $1 - \left( \frac{13999}{14000}\right )^{14000}$ ?

Question

Quiero encontrar una aproximación a la expresión $$1 - \left( \frac{13999}{14000}\right )^{14000}$$

Probé tomando el logaritmo $$\ln P = \ln\left(1 - \left(\frac{13999}{14000}\right)^{14000}\right) \approx - \left(\frac{13999}{14000}\right)^{14000}$$

¿Qué debo hacer ahora? ¿Es correcto mi procedimiento?

Answer 1

Obsérvese que la expresión de interés es de la forma

$$1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$$

con $n=14000$ . Recordando que

$$\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=e^{-1}$$

tenemos

$$1-\left(\frac{13999}{14000}\right)^{14000}\approx 1-e^{-1}$$

Answer 2

Otra forma de hacerlo: considerar $$A=\Big({13999 \over 14000}\Big )^{14000}$$ $$\log(A)=14000 \log\Big({13999 \over 14000}\Big )$$ Ahora, consideremos la expansión en serie de convergencia muy rápida $$\log\Big({{1+x} \over {1-x}}\Big )=2 \Big(\frac{x}{1}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots\Big)$$ y hacer ${{1+x} \over {1-x}}={13999 \over 14000}$ que da $x=-\frac{1}{27999}$ . Los términos en $x^3$ y superiores no juegan casi ningún papel; así que $$\log(A)\approx -14000 \times 2\times\frac{1}{27999}=-\frac{28000}{27999}=-1-\frac{1}{27999}$$ Así que $$A=e^{-1-\epsilon}=e^{-1}e^{-\epsilon}$$ $$1-A=1-e^{-1}e^{-\epsilon}$$ Ahora bien, como $\epsilon$ es muy pequeño $e^{-\epsilon}\approx 1-\epsilon$ que hace que $$1-A=1-e^{-1}(1-\epsilon)=1-\frac 1e +\frac \epsilon e$$ con $\epsilon =\frac{1}{27999}$ .

Utilizando los números, la última aproximación da $$\color{red}{0.632133697}849$$ mientras que el valor "exacto" sería $$\color{red}{0.632133697}771$$

Editar

Haciendo el problema más general, considerando $$1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^n$$ utilizando el mismo enfoque pero incluyendo algunos términos de orden superior en las expansiones, se obtendría $$1-\left(\frac{n-1}{n}\right)^n=1-\frac 1e+\frac 1e \,\Big(\frac 1 {2n}+\frac 5 {24n^2}+\cdots\Big)$$ Utilizando esta fórmula se obtendría un valor aproximado igual a $$\color{red}{0.6321336977710}56$$ mientras que el valor "exacto" sería $$\color{red}{0.6321336977710}70$$

Answer 3

Para una solución que le permita controlar la precisión del resultado, puede hacer lo siguiente. Primero, escriba la expresión como tal:

$$1−\left(\frac{13999}{14000}\right)^{14000} = 1−\left(\frac{14000 - 1}{14000}\right)^{14000} = 1−\left(1 - \frac{1}{14000}\right)^{14000}$$

Entonces utiliza el teorema del Binomio

$$(1 + x)^n = \sum_{k\,=\,0}^{n} {n \choose k}\, x^k$$

con $x = -\frac{1}{14000}$ y $n = 14000$ . Ahora, usted definitivamente no quieren calcular todos esos coeficientes binomiales. Los primeros términos deberían ser suficientes para obtener una aproximación útil.

Por ejemplo, parar en $k=1$ :

$$(1+x)^n = 1 + n\,x + \frac{n\,(n-1)}{2}\,x^2$$

Entonces,

$$1−\left(\frac{13999}{14000}\right)^{14000} = 1−\left(1 - \frac{1}{14000}\right)^{14000} \approx 1 - \left(1 + n\,x + \frac{n\,(n-1)}{2}\,x^2\right)$$

o

$$1−\left(\frac{13999}{14000}\right)^{14000} \approx -n\,x - \frac{n\,(n-1)}{2}\,x^2$$

Tenga en cuenta que $x$ se eligió negativo, por lo que el término principal de arriba es en realidad un número positivo (en realidad es sólo 1). El resultado, entonces, es

$$1−\left(\frac{13999}{14000}\right)^{14000} \approx 1 - \frac{13999}{28000}$$

Probablemente no quiera detenerse en $k=1$ para una mejor aproximación. La cuestión es que cuantos más términos utilices, mejor será tu aproximación.