Aquí es un viejo qual problema en el que estoy trabajando, tengo alguna idea, pero no estoy seguro si estoy en lo correcto o no. Yo sería feliz si alguien podría confirme o me corrija:
Deje $U=\{z\in \mathbb{C} : \frac{1}{2}<|z|<2\}$. Supongamos $f:U\rightarrow \mathbb{C}$ es holomorphic. Supongamos que para cada $n$, hay un holomorphic $g_n:U\rightarrow \mathbb{C}$$f(z)=(\frac{d}{dz})^n g_n(z)$, para todos los $z\in U$. Mostrar que $f$ se extiende a un holomorphic función de $\{z:|z|<2\}\rightarrow \mathbb{C}$.
Sí, mi idea era la siguiente: sabemos que podemos escribir la de la serie de Laurent. Digamos que el de la serie de Laurent es $\sum_{-\infty}^{\infty} a_n z^n$. He intentado mostrar que $a_n=0$ todos los $n<0$. He considerado, por ejemplo, $a_{-1}$. Asumir que es distinto de cero. Pero, sabemos que el $f(z)=g_1'(z)$ $U$ algunos $g_1$, que es analítica en $U$. Por lo tanto, estas dos funciones ( $f$ $g_1'$ ) también tienen el mismo Laurent de la serie, por la singularidad. Pero, no podemos obtener cualquier término de $\frac{1}{z}$ mediante la diferenciación de la serie de Laurent $g_1$, lo cual pensé que muestra que $a_{-1}=0$. Haciendo lo mismo para las derivadas de orden mayor en repetidas ocasiones, pensé que obtener el resultado. Es esto correcto, o tengo algún error fatal? Mi duda es que no he usado el número de $\frac{1}{2}$ en el tipo de problema, así que no tiene nada especial, tal vez?
Muchas gracias de antemano!
