La extensión de colindando raíces de la unidad y de la ramificación

Question

Deje $p$ ser una de las primeras, $n\geq 1$, $\zeta=\zeta_{p^n}$ una primitiva $p^n$th raíz de la unidad, $L$ un campo de número y $\wp$ un primer ideal de el anillo de los enteros de $L$ está por encima $p$.

Supongamos que $L(\zeta)$ es no trivial de la extensión de $L$. Es $L(\zeta)/L$ necesariamente se ramifica en $\wp$? Yo creo que sí, pero ¿cómo se puede demostrar esto?

Gracias!

Answer 1

No. Suficiente ramificación de mayo ya han ocurrido cuando la ampliación de$\mathbb{Q}$$L$.

Para un contraejemplo deje $p=3, n=1$, y deje $L=\mathbb{Q}[\sqrt3]$. A continuación, ${\frak p}=(\sqrt3)$ es sólo el primer ideal de $L$ por encima de lo racional el primer $(3)$, e $e({\frak p}:3)=2$. Esta vez $L(\zeta)=\mathbb{Q}[\sqrt3,i]$. Debido a $(3)$ es inerte en $\mathbb{Q}[i]/\mathbb{Q}$, se deduce que el ${\frak p}$ también debe ser inerte en la extensión de $L(\zeta)/L$.

Answer 2

Deje $p>2$ ser cualquier extraño prime, y $n\geq 1$ también arbitraria. Deje $\zeta=\zeta_{p^n}$ ser una primitiva $p^n$th raíz de la unidad. Deje $q\neq p$ ser otra extraña prime, y considerar la posibilidad de $K=\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt{q})$. La extensión de $K/\mathbb{Q}$ es el compositum de $\mathbb{Q}(\zeta)$$\mathbb{Q}(\sqrt{q})$, que son distintos (uno ramifies sólo en $p$, el otro ramifies en $q$ y tal vez en $2$), por lo que es de Galois con grupo de Galois $$G\cong (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/\varphi(p^n)\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.$$ Claramente, la ramificación índice de $p$$K/\mathbb{Q}$$\varphi(p^n)$.

Deje $H$ ser el subgrupo de orden $2$ generado por $(\varphi(p^n)/2 \bmod \varphi(p^n),1 \bmod 2)$, y deje $L=K^H\subset K$ ser el campo fijo de $H$. Observe que la inercia de los subgrupos $I_p$ $p$ es generado por $(1 \bmod \varphi(p^n),0\bmod 2)$. Desde $I_p\cap H$ es trivial, se deduce que el $K/L$ es cuadrática, unramified en $p$. Por otra parte, $\zeta\not\in L$, porque si $\zeta\in L$,$\mathbb{Q}(\zeta)\subseteq L$, y por lo tanto $\mathbb{Q}(\zeta)=L$ (debido a $K/\mathbb{Q}(\zeta)$ es cuadrática). Pero $\mathbb{Q}(\zeta)$ no es el campo fijo de $H$, pero el campo fijo del grupo generado por $(0\bmod \varphi(p^n),1\bmod 2)$, lo $\mathbb{Q}(\zeta)\neq L$, y hemos llegado a una contradicción. Por lo tanto $\zeta\not\in L$.

Ahora considere el $L(\zeta)/L$. Claramente, desde $\zeta\not\in L$,$L\subsetneq L(\zeta)\subseteq K$. Pero desde $K/L$ es cuadrática, debemos tener $L(\zeta)=K$. Hemos demostrado anteriormente que el $L(\zeta)=K/L$ es unramified en $p$, y cuadráticas, así que hemos terminado.

Answer 3

El único de los números primos que se ramifican en la extensión de $L(\zeta)/L$ son precisamente las que dividen el discriminante de $L(\zeta)$. Por la clase de teoría de campo y la finitud de la clase de grupo, existe siempre una todas partes unramified extensión. La máxima abelian unramified extensión se llama Hilbert campo de la clase. De hecho, en todas partes unramified extensión de más de $\mathbb{Q}$ sería necesariamente un cyclotomic extensión.