La intuición para el Cauchy-Schwarz desigualdad

Question

Yo no estoy buscando una prueba matemática; estoy buscando una visual. Estoy teniendo problemas para entender (en el ojo de mi mente) ¿por qué el producto escalar de dos vectores V y W produce un escalar que es menor que la longitud de V multiplicado por la longitud de W.

En el uso del producto escalar, estamos produciendo un vector paralelo, ¿correcto? No dicen que somos simplemente la aplicación del vector de W para el vector V con el fin de producir un vector es la longitud original de V multiplicado por la longitud de W -- por lo tanto un vector paralelo a V? Por ejemplo, si dejamos que el vector W un vector unitario (con longitud de uno), entonces el producto escalar de V y W nos daría un escalar que, cuando se aplica a V, produce V de nuevo. Podría no ser la misma que la longitud de V multiplicado por la longitud de W (dado que la longitud de W es igual a uno)?

Por esa razón, por qué no el producto escalar de V y W siempre ser igual a la longitud de V multiplicado por la longitud de W? ¿Por qué iba a ser menos (a menos que V = cW para cualquier escalar c?)

Answer 1

En el CS de la desigualdad de $|u\cdot v|\le \|u\|\|v\|$, supongamos $v$ es un vector normalizado, es decir, $\|v\|=1$. A continuación, el CS de la desigualdad se convierte en $|u\cdot v|\le \|u\|$. Ahora, es un asunto trivial para mostrar que estas dos formas de la CS de la desigualdad de hecho son equivalentes en el sentido de que si $|u\cdot v|\le \|u\|$ para todos los normalizado vectores $v$, luego de la habitual CS desigualdad se cumple para todos los vectores. Así, vamos a repetir el CS de la desigualdad indica que $|u\cdot v|\le \|u\|$ para todos los normalizado vectores $v$. Ahora, la física/interpretación geométrica de la $u\cdot v$ en este caso es que es la componente del vector $u$ en la dirección $v$ (desde $v$ es asumido normalizado, que es todo lo que es, una dirección), mientras que $\|u\|$ es la magnitud de $u$. Así que el CS de la desigualdad es más que exponer los intuitivamente obvio hecho de que la componente de un vector $u$ en una sola dirección, es limitada por la magnitud de $u$.

Por cierto, esta línea de pensamiento lleva a producir una muy corto y elegante pruebas de la CS de la desigualdad. Pero, como usted no está buscando una prueba, yo te lo dejo como ejercicio.

Answer 2

Por definición, el "punto" del producto de dos vectores, decir $\vec A$ $\vec B$ es

$$\vec A\cdot \vec B=|\vec A||\vec B|\cos \theta$$

donde $\theta$ es el ángulo entre el$\vec A$$\vec B$. Es decir, que el producto interior es la proyección de un vector sobre otro. Visualmente, la proyección es como una "sombra" que un vector proyecta a lo largo de la dirección de la otra.

Answer 3

Uno puede mostrar que en el espacio Euclidiano, el ángulo de $\theta$ entre los dos vectores $v,w$ (en el sentido de la geometría Euclidiana) satisface

$$\cos(\theta)=\frac{v \cdot w}{\| v \| \| w \|}.$$

Esto es, básicamente, la ley de los cosenos aplicado a una adecuada triángulo. Esta ecuación sólo tiene sentido para cada $v,w$ si el Cauchy-Schwarz desigualdad se cumple.

Answer 4

Recordemos que $$a\cdot b=|a||b|\cos\theta$$ where $\theta$ is the angle between $$ and $b$.

El uso de este hecho, es fácil comprobar que $\dfrac{a\cdot b}{|b|}$ es el componente de $a$ en la dirección de $b$. Por supuesto, el componente de $a$ en la dirección de $b$ debe tener valor absoluto menor o igual a la magnitud de $a$. Esto le da a $\dfrac{|a\cdot b|}{|b|}\leq|a|$ y, por tanto,$|a\cdot b|\leq |a||b|$.

Así que en realidad $a\cdot b=|a||b|\cos\theta$ da no sólo una prueba formal de la de Cauchy-Schwarz desigualdad, pero también una forma geométrica de pensar de la dot producto que hace que el Cauchy-Schwarz desigualdad claro.

Answer 5

(Adaptado de wikimedia commons File: Producto escalar.svg utilizando Inkscape 0.91 para convertir a PNG.)

La imagen ilustra la proyección escalar de a $\mathbf{A}$ a $\mathbf{B}$, a veces denotado $A_B$. Ya sabes que, si $||\mathbf{B}||=1$, $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_B$, y así, por desperdicio no especial $\mathbf{B}$, $$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot \hat{\mathbf{B}}||\mathbf{B}|| = A_B ||\mathbf{B}|| = ||\mathbf{A}|| \, ||\mathbf{B}|| \cos \theta$$ donde $\hat{\mathbf{B}}$ denota el vector unitario a lo largo de $\mathbf{B}$.

Pero ¿qué nos dice esto? Que $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ se maximiza cuando se $\theta$ es de 90 grados. En ese caso, el paralelogramo $\mathbf{0}, \mathbf{A} , \mathbf{A} + \mathbf{B}, \mathbf{A} + \mathbf{B} - \mathbf{A} ({}=\mathbf{B})$ es un rectángulo. Utilizando la fórmula del área de paralelogramos (base por altura), el área se maximiza cuando se $\mathbf{A}$ es toda la altura. Al $\theta$ no es un ángulo recto, el área es menor, disminuyendo a cero, como se $\mathbf{A}$ $\mathbf{B}$ convertido (anti-)en paralelo.