¿Cómo se puede mostrar $\sum_{d\mid n} \frac{\mu(d)}{d} =\prod_{p\mid n}\left (1-\frac{1}{p}\right)$?

Question

cómo probar :$$ \sum_{d\mid n} \frac{\mu(d)}{d} =\prod_{p|n} \left(1-\frac{1}{p}\right)$$

$p$ es primo.

$\mu : \Bbb N\rightarrow \Bbb R$

$\mu(1)=1$

$ \mu(n)= \begin{cases} 0 &,\;\;\; \text{if %#%#% is divisible by a square prime number} \\{}\\ (-1)^r &,\;\;\; \text{if %#%#%} \\ \end{casos} $

Answer 1

Sugerencia: Deje $f(n)$ ser una de estas sumas. El uso que $\mu$ es multiplicativo para mostrar que $f$ es multiplicativo, y por lo tanto, usted sólo tiene que mostrar estos resultados para $n$ igual a la potencia de un primer...

En general, si $h(n)$ es multiplicativo - que es $h(nm)=h(n)h(m)$ al $m,n$ es relativamente primos -, a continuación, $g(n)=\sum_{d|n} h(d)$ también es multiplicativo.

Answer 2

Aquí es una prueba de la primera: $$ n \prod_{p|n} \left(1-\frac{1}{p}\right) = \phi(n) = \sum_{d\mediados n} \mu(d) \frac{n}{d} = n \sum_{d\mediados n} \frac{\mu(d)}{d} $$ donde la segunda igualdad se logra a través de Moebius de la inversión en $$ n = \sum_{d\mediados n} \phi(d) $$