Irreductibilidad de una secuencia infinita de polinomios

Question

Demuestre que$P_n(X) = X^n - X^{n-1} - X^{n-2} - ... - X - 1$ es irreductible sobre$\mathbb{Z}$ para todos$n$.

Pude probar el resultado de$n=2^k-1$ aplicando el criterio de Eisenstein a$P_n(X+1)$. Pero para otros valores de$n$, estoy atascado. ¿Alguien tiene una idea sobre esto?

Answer 1

Use la misma idea utilizada en la prueba del criterio de irreductibilidad de Perron :

• Demuestre que$P_n(x)$ tiene una y solo una raíz$a$ con$|a|>1$ y ninguna con$|a|=1$ (esta es la parte difícil. Para demostrar este uso que$(x-1)P_n(x)=x^{n+1}-2x^n+1$) .

• Si$P_n(x)$ fue reducible con$P_n(x)=f(x)g(x)$ ($1\leq\deg(f)<n$), entonces uno de los polinomios$f,g$ tiene todas sus raíces dentro del círculo unitario y el término constante$\pm1 \ \Rightarrow\Leftarrow$.