Creo que lo que Person entiende por análisis real es el cálculo multivariante. Las formas diferenciales son elementos de volumen infinitesimal. Uno piensa en un colector como un conjunto de piezas locales del espacio euclidiano y uno integra formas diferenciales sobre un colector. Sin embargo, la definición de integración de la forma diferencial suele darse en términos de coordenadas locales. Es decir, para entender el cálculo sobre los colectores, primero hay que entender el cálculo sobre el espacio euclidiano.
Así, el cálculo multivariante y la geometría diferencial tocan cosas diferentes. El eje del cálculo multivariante es el teorema de Stokes, que relaciona las dimensiones vecinas y las operaciones de integración y diferenciación. Sin embargo, la piedra de toque de la geometría diferencial es el estudio de los mapas diferenciables. En este caso, se trata de encontrar lo que es invariante bajo mapas que preservan la derivada. Este es el enfoque geométrico diferencial para entender la diferenciación.
PS. Los comentarios básicamente que señalar que el análisis real incluye temas como la teoría de la medida, etc. Originalmente, el análisis real solía tratar sobre los números reales. Sin embargo, debido a la abstracción, el análisis real incluye ahora muchos temas más allá del cálculo.
