$A$ matriz cuadrada,nonsingular $\implies $ todos submatrixes de $A$ son también nonsingular?

Question

Si una matriz cuadrada $A$ es nonsingular, entonces cada submatriz de a $A$ es también nonsingular.

Estoy tratando de encontrar un contraejemplo. Pero la mayoría son de muy difícil ejemplos, así que estoy empezando a pensar que esto es realmente cierto y probablemente algo que ver con determinante distinto de cero, a través de cada uno de los subsectores de la matriz.

También, ¿tomar un cero de la entrada en decir una identidad contar como no singular de la matriz? (Matriz 1 x 1)

Answer 1

Considere la matriz de identidad $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$. La submatriz $\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}$ no es invertible. Si ahora se desea considerar el principal submatrices, considere la posibilidad de $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$.

Edit: El siguiente es algo relacionado con tu pregunta.

Es bien sabido que para cualquier hermitian de la matriz, la caracterización sostiene por debajo:

La matriz es positiva definida $\iff$ Todos sus autovalores son (estrictamente) positivo $\iff$ Todos sus los menores de edad (es decir, los determinantes de sus submatrices) son todos (estrictamente) positivo.

Desde cualquier matriz con estrictamente positivo autovalores es nonsingular, la anterior caracterización guaranteers que si es hermitian, a continuación, sus submatrices también será nonsingular.