Si el producto punto entre dos vectores es $0$ ¿son los dos linealmente independientes?

Question

Si tenemos vectores $V$ y $W$ en $\mathbb{R^n}$ y su producto punto es $0$ ¿son los dos vectores linealmente independientes?

Puedo ampliar $V_1 \cdot V_2 = 0 \Rightarrow v_1w_1+...+v_nw_n = 0$ pero no entiendo cómo se relaciona esto con la independencia lineal.

Answer 1

Supongamos que $\vec v_1\cdot\vec v_2=0$ para $\vec v_1\neq\mathbf 0$ y $\vec v_2\neq\mathbf 0$ . Además, supongamos que $$ \lambda_1 \vec v_{1}+\lambda_2\vec v_2=\mathbf 0\tag{1} $$ Aplicando $(-)\cdot v_j$ a (1) da como resultado $$ (\lambda_1\vec v_1+\lambda_2\vec v_2)\cdot \vec v_j=(\mathbf 0)\cdot \vec v_j\tag{2} $$ Expandiendo (2) se obtiene entonces $$ \lambda_1(\vec v_1\cdot \vec v_j)+\lambda_2(\vec v_2\cdot\vec v_j)=0 $$ lo que equivale a $$ \lambda_j\lVert\vec v_j\rVert^2=0\tag{3} $$ Pero ahora $\lVert\vec v_j\rVert\neq0$ desde $\vec v_j\neq\mathbf 0$ por lo que dividiendo (3) por $\lVert\vec v_j\rVert^2$ da $$ \lambda_j=0 $$ Dado que lo anterior funciona para $j=1,2$ tenemos que $\lambda_1=\lambda_2=0$ . Por lo tanto, $\vec v_1$ y $\vec v_2$ son independientes.

Answer 2

Sugerencia: considera lo que ocurre cuando uno de los vectores es cero. Por otra parte, si ambos son distintos de cero, entonces no pueden ser linealmente dependientes, ya que la norma de un vector distinto de cero es distinta de cero.

Answer 3

Trabajando hacia atrás, $\{u,v\}$ son dependientes exactamente cuando $u=kv$ (o al revés) para alguna constante real $k$ . Pero entonces $u\cdot v=(kv)\cdot v=k(v\cdot v)=k\|v\|^2$ . Esto es cero exactamente cuando $\|v\|=0$ o $k=0$ (y por lo tanto $u=0$ ).

Answer 4

De forma más general, sí cualquier conjunto ortogonal de vectores es linealmente independiente. Así que si consideramos $R^n$ junto con el producto interno que es el producto punto, entonces si el conjunto de vectores tiene un producto punto de cero, entonces son linealmente indepedientes:

Consideremos el conjunto A = { $x_1$ , $x_2$ ,..., $x_n$ }

Ahora tenemos que demostrar que los conjuntos A son linealmente indepedientes, es decir, si se toman combinaciones lineales de A, la única solución que funciona es la trivial.

Considere $a_n \in R$

$a_1x_1 + ... + a_nx_n = 0$

hacer el producto punto con $x_1$ Observe que todo se desvanecerá ya que tenemos por supuesto que el producto punto es cero y se quedará con $a_1x_1^{2} = 0$ así que $a_1$ = 0 y puedes proceder de forma similar y descubrirás que todas las constantes son cero.