Mostrar $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^e+e^n}=e$

Question

¿Por qué es $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^e+e^n}$ = $e$ ? No he podido obtener este resultado.

Answer 1

Esto equivale a demostrar que $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac {n^e}{e^n} + 1 } = 1$ .

Esto está claramente limitado por debajo por 1. Está limitado por encima por $ 1 + \frac {n^e}{n e^n}$ que tiene un límite de 1, ya que los polinomios crecen mucho más lentamente que los exponenciales.

Answer 2

$$ \large (n^e + e^n)^{\frac{1}{n}} = e \left ( 1 + \frac {n^e}{e^n} \right) ^{\frac 1 n} $$ $$ e \Large \left ( 1 + \frac {n^e}{e^n} \right) ^{\frac 1 n} = e \left ( \underbrace { \left ( 1 + \frac {1}{e^{n - e \log n}} \right) ^{e^{n - e \log n}} }_{e}\right)^{ \underbrace{\frac{n}{e^{n - e \log n}}}_{0}}$$

Answer 3

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^e+e^n}=\lim_{n\to\infty} (n^e+e^n)^{\frac1n}=\lim_{n\to\infty} e^{\ln (n^e+e^n)\frac1n}$$ Ahora sólo hay que calcular $$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln (n^e+e^n)}n=\lim_{n\to\infty} \frac{\ln (e^{e\ln n}+e^n)}n=\lim_{n\to\infty} \frac{\ln e^n(e^{e\ln n-n}+1)}n=1+\lim_{n\to\infty} \frac{\ln (e^{e\ln n-n}+1)}n=1+\lim_{n\to\infty} \frac{\ln (e^{-\infty}+1)}n=1+\lim_{n\to\infty} \frac{\ln (0+1)}n=1+\lim_{n\to\infty} \frac{\ln (1)}n=1+0=1$$ desde $e\ln n-n\to -\infty$ .

Answer 4

Veamos una forma más directa

$$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n^e+e^n}=\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{e^n}=e$$ porque la prueba de la proporción aplicada a $\frac{n^e}{e^n}$ produce $\lim_{n\to\infty}\frac{n^e}{e^n}=0.$

Answer 5

También puede aplicar _dos gendarmes teorema. La idea es encontrar secuencias $l_n, u_n$ que limitan (por abajo y por arriba) la secuencia dada $a_n$ es decir $$l_n\le a_n\le u_n$$ y que convergen a un límite conjunto (es decir $\lim_{n\to\infty}l_n=\lim\{n\to\infty}u_n=g).$ Entonces el teorema dice que $a_n$ también es convergente y el límite es $g$ . Veamos cómo funciona.

Encontrar estos límites suele ser bastante sencillo: el límite inferior suele obtenerse simplemente omitiendo algunos términos no negativos. Mientras se busca el límite superior, hay que recordar que la desigualdad tiene que ser verdadera sólo para todos los suficientemente grandes $n$ 's. En este caso se puede escribir: $$\sqrt[n]{0+e^n}\le\sqrt[n]{n^e+e^n}\le\sqrt[n]{e^n+e^n}$$ desde $0\le n^e$ y $n^e\le e^n$ con seguridad si $n$ es suficientemente grande. A continuación, observamos que

$l_n:= \sqrt[n]{e^n}=e\longrightarrow e$ así como

$u_n:=\sqrt[n]{2e^n}=e\sqrt[n]{2}\longrightarrow e\cdot 1 =e.$

El teorema da lugar a la afirmación.