$x-1$ base $x$ sistemas de conteo de

Question

Por favor, disculpe la falta de experiencia. Yo no soy un matemático, ni he estudiado desde la escuela secundaria.

Yo estaba pensando acerca de cómo todos los dígitos de múltiplos de $9$ sumada sea igual a un múltiplo de $9$.

Yo estaba reflexionando sobre cómo milagrosa esto parecía, pero pronto me volvió escéptico y se preguntó si se trataba de un producto de nuestra base $10$ sistema de conteo.

Hice un experimento de pensamiento, tratando de ver si tal cosa existiera en una base $9$ sistema de conteo. Trabajó para el dígito $8$. Posteriormente, cada vez que me registré en cada sistema de conteo, el dígito final ($x-1$donde $x$ es la base del sistema de conteo) sigue el mismo patrón.

Por ejemplo, en una base $9$ sistema de: $8 \times 2 = 17$

$1 + 7 = 8$

En una base de $5$ sistema de: $4 \times 3 = 22$

$2+2 = 4$

Me pregunto si esto tiene un nombre. He intentado buscar, pero no sé lo suficiente matemática jerga de encontrar una decente criterios de búsqueda.

Gracias.

Answer 1

Su corazonada es correcta; que ha descubierto un teorema!

La forma más sencilla de explicarlo es mediante el uso de la aritmética modular, donde el número entero de la línea se envuelve alrededor de un círculo. Dos números son congruentes modulo $n$, escrito $$ un \equiv b \pmod{n} $$ si dan el mismo resto en la división por $n$. Equivalentemente, $a \equiv b \pmod{n}$ si $n$ divide $a - b$.

¿Cómo es esto relevante? En base a $n+1$, un número se expresa como un polinomio de grado $d$ (número de dígitos) con coeficientes en $\{0, 1, \dots, n \}$:
$$ a = a_d (n+1)^d + a_{d-1} (n+1)^{d-1} + \dots + a_2 (n+1)^2 + a_1 (n+1) + a_0 $$ La congruencia $n + 1 \equiv 1 \pmod{n}$, permite reducir este a $$ \begin{align} a &\equiv a_d (1)^d + a_{d-1} (1)^{d-1} + \dots + a_2 (1)^2 + a_1 (1) + a_0 \pmod{n}\\ &= a_d + a_{d-1} + \dots + a_2 + a_1 + a_0. \end{align} $$

Al $n = 9$, se puede reducir en la base de $n + 1 = 10$ número a la suma de sus dígitos modulo $9$. (Y si la suma es congruente a $0 \pmod{9}$, entonces usted tiene varias de $9$.) Sin embargo, no hay ninguna razón $n$ se $9 \dots$