Escenario: Supongamos que $V$ es de un número finito de dimensiones de espacio vectorial y que $\{e_1,...,e_n\}$ es una base para $V$. Deje $v,w\in V$ y supongamos que $v=\sum_{i=1}^n \alpha _i e_i$ $w=\sum_{i=1}^n \beta _i e_j$ donde $\alpha_i$, $i=1,..,n$ y $\beta_j$, $j=1,...,n$. Podemos calcular $\langle v,w\rangle $ a sabiendas de que sólo la base de expansiones de $v$ $w$ y los valores de $\{\langle e_i,e_j\rangle :i,j=1,...,n\}$?
Lo que yo entiendo:
Sé que $\langle v,w\rangle =\langle \sum_{i=1}^n \alpha _i e_i, \sum_{i=1}^n \beta _i e_j\rangle$ y $\langle e_i,e_j\rangle=0$. La base de la expansión sería cualquier $\alpha_1 e_1 +\alpha_2 e_2+...+ \alpha_n e_n$ y de manera similar para $\beta_j e_j$. Es el problema de preguntar si el producto escalar es simplemente $\sum_{i=1}^n \alpha_i \beta_j$?
