Matriz polinómica

Question

Dejemos que $p \in \mathbb{N}, p \geq 2$ incluso. Demuestra que $$\det(X^{p}+X^{p-1}+\dots+X+I)\geq 0$$ para todas las matrices invertibles $X$ con entradas reales.

La solución que encontré simplemente utiliza el hecho de que el polinomio $x^p+x^{p-1}+\dots+x+1$ no tiene ninguna raíz real. ¿Por qué es suficiente?

Answer 1

• Supongamos en primer lugar que $X$ es diagonalizable con valores propios $\lambda_k$ .

Dejemos que $\pi(x):=x^p+x^{p-1}+\dots+x+1$ como las raíces de $\pi(x)(x-1)=x^{p+1}-1$ son los $(p+1)$ -raíces de la unidad con $(p+1)$ impar ; sabemos que apartar $x=1$ , como $x=-1$ no puede ser una raíz en este caso, todas sus raíces, es decir, todas las raíces de $\pi(x)$ no son reales. Así, la curva $y=\pi(x)$ no se cruza con el $x$ eje; así, como $p(0)=1>0$ Esta curva se mantiene por encima del $x$ -lo que significa que todos los valores de $\pi(x)$ son $>0.$

Dejemos que $Q_X=X^p+X^{p-1}+\dots+X+I_p.$

Escribir $X=PDP^{-1}$ con $D$ matriz diagonal de valores propios, tenemos:

$$Q_X=PD^pP^{-1}+PD^{p-1}P^{-1}+\dots+PDP^{-1}+PIP^{-1}=P\underbrace{(D^p+D^{p-1}+\dots+D+I)}_R P^{-1}.$$

Así,

$$\tag{1}det(Q_X)=\det(R)=\prod_{k=1}^p \pi(\lambda_k).$$

De donde $\det(Q_X)>0$ debido a la positividad del polinomio $\pi(x)$ establecido arriba.

• Para el caso general, basta con utilizar un argumento topológico, más precisamente un argumento de continuidad : cualquier matriz es arbitrariamente cercana a una matriz invertible ; por lo tanto cualquier matriz no invertible $X$ es el límite de una secuencia de matrices invertibles $X_n$ ya que tenemos una suma finita : $Q_{X_n} \to Q_X$ y terminamos utilizando el hecho de que el determinante es una función continua de las entradas de una matriz.

Answer 2

Caso 1: X es diagonal

El determinante es igual a $\prod_i f(d_i)$ donde $f$ es el polinomio de la pregunta y $d_i$ son las entradas diagonales.

Caso 2: X es diagonalizable

En este caso, f(X) también es diagonalizable, ya que $PX^kP^{-1}=(PXP^{-1})^k$ por lo que la afirmación se deduce del caso 1.

Caso 3: X es arbitrario

Afirmo que el conjunto de matrices diagonalizables es denso en el espacio de todas las matrices. De aquí se deduce la afirmación del caso 2. Para establecer la afirmación, dejemos que DM denote el espacio de las matrices diagonalizables de un tamaño determinado. Nótese que una matriz es diagonalizable si tiene valores propios distintos, es decir, las raíces del polinomio característico $\phi_X(t)$ son distintos. Este es el caso exactamente cuando $gcd(\phi_X, \phi'_X)=1$ que a su vez es el caso exactamente cuando $Res(\phi_X, \phi'_X)\ne 0$ , donde $Res$ es una cierta función polinómica universal (es decir, que no depende de X) de los coeficientes de $\phi_X$ y $\phi_X'$ , llamada la Resultante. Definir el mapa $F$ por $F(X)=Res(\phi_X, \phi'_X)$ . Resumiendo, tenemos $ F^{-1}(\mathbb{R}-\{0\})\subset DM$ . Dicho de otra manera, $DM^c\subset F^{-1}(0)$ . Pero $F(X)$ es una función polinómica de los elementos de $X$ lo que significa que $F^{-1}(0)$ está cerrado por Zariski. Cualquier conjunto abierto de Zariski no vacío es denso de Zariski, por lo que en particular DM contiene un subconjunto denso de Zariski. Por último, $Det(X^p+...+I)$ es una función polinómica de las entradas de $X$ por lo que es continua en la topología de Zariski.