Deje $X$ ser positivo de la variable aleatoria y su distribución es simétrica alrededor de su valor medio $m$. Entonces $$ E\left[\frac{1}{X}\right] \geq \frac{1}{m} + \frac{\sigma^2}{m^3}, $$ donde $\sigma^2$ es la varianza de $X$. Sólo puedo demostrar que $$ E\left[\frac{1}{X}\right] \geq \frac{1}{m}, $$ el uso de Jensen, pero de alguna manera no puede incorporar la simetría y también obtener el segundo término.
Respuesta
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Vamos a probar la costumbre preliminares: simplificar mediante la elección adecuada de las unidades de medición y la explotación de la simetría de la asunción.
Una reformulación de la pregunta
Cambiar las unidades de $X$, de modo que su media es $m=1$: esto no va a alterar la verdad de la desigualdad. Por lo tanto la distribución de $F$ $X$ es simétrico con respecto al $1$ y el rango de $X$ está dentro del intervalo de $[0,2]$. Nuestro objetivo es probar
$$\int_0^2 \frac{1}{x}dF(x) = E\left[\frac{1}{X}\right] \ge 1 + \sigma^2 = E[X^2] = \int_0^2 x^2 dF(x).$$
Desde $dF$ es invariante bajo la simetría $x\to 2-x$, romper cada integral en dos integrales sobre los intervalos de $[0,1)$ $(1,2]$ y el cambio de la variable de $x$ $2-x$durante el segundo intervalo. Podemos ignorar cualquier tipo de probabilidad se concentra en el valor de $1$ debido a que en ese punto de $1/x = x^2.$ Donde el problema se reduce a demostrar
$$\int_0^1 \left[\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{2-x}\right) -(x^2 + (2-x)^2)\right]dF(x) \ge 0.\tag{*}$$
Esto sólo puede ocurrir si el integrando
$$g(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2-x} -(x^2 + (2-x)^2)$$
es no negativa en el intervalo de $(0,1].$ Que es lo que debemos mostrar.
Solución
Se podría aplicar el cálculo diferencial. Primaria manifestaciones están también disponibles. Al $0 \le x \le 1$, va a ser el caso de que $0 \le |x-1| \le 1$, de donde $1 \le 1/|x-1|$, lo que implica
$$1 \le \frac{1}{(x-1)^2} \le \frac{1}{(x-1)^4}.$$
Esto implica
$$0 \le \frac{1}{(x-1)^4} - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{2}{g(x)},$$
mostrando $g(x) \ge 0$ $x\in (0,1],$ QED.
La desigualdad es apretado en el sentido de que cuando se $F$ concentra su probabilidad más cerca de $1$, la desigualdad se pone más cerca de ser una igualdad. Por lo tanto, no hemos podido reemplazar el $\sigma^2/m^3$ en la desigualdad original por cualquier múltiplo $\lambda\sigma^2/m^3$$\lambda \gt 1$.
