Determinación del lugar de un número complejo

Question

Si $|z+\bar{z}| =|z-\bar{z}|$ Entonces, determine el lugar de $z$ .

Así es como lo intenté,

La afirmación dada implica que $z$ es equidistante de - $\bar{z}$ y $\bar{z}$ por lo que se encuentra en la bisectriz perpendicular de $z$ y $\bar{z}$ que es una línea recta.

Sin embargo, la solución del problema dado es la siguiente Sea $z= x+iy$

$|z+\bar{z}| = |z-\bar{z}|$

Implica

$|2x| = |2y|$

$|x|=|y|$

Por lo tanto, $x=y$ o $x= -y$ que es un par de líneas rectas.

¿En qué me he equivocado? ¿Es porque la definición de una bisectriz perpendicular es el lugar de todos los puntos que son equidistantes de dos puntos fijos? Pero para una $z$ no lo haría $\bar{z}$ y $-\bar{z}$ ¿se arreglará?

Answer 1

La afirmación dada implica que $z$ es equidistante de $-\bar{z}$ y $\bar{z}$ por lo que se encuentra en la bisectriz perpendicular de $\ldots$

Pero $\,z\,$ es el variable en este caso, por lo que la bisectriz perpendicular de $\,\bar z\,$ y $\,-\bar z\,$ cambios para cada $\,z\,$ .

En su lugar, utilice ese $\,z+ \bar z = 2 \operatorname{Re}(z)\,$ y $\,z- \bar z = 2i \operatorname{Im}(z)\,$ , entonces la igualdad se reduce a:

$$\require{cancel} |\operatorname{Re}(z)|=|\operatorname{Im}(z)| $$

Esto último equivale a $\,\operatorname{Re}(z)=\pm \operatorname{Im}(z)\,$ o $\,x=\pm y\,$ en coordenadas cartesianas.

Answer 2

$z$ no es una constante en este problema... por lo tanto tampoco lo son $\bar z$ y $-\bar z$ ...
Ahí es donde está su error.

Para $z$ para satisfacer la ecuación $\lvert z+\bar z\rvert=\lvert z-\bar z\rvert$ Sólo necesitamos $x=\pm y$ .

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$|z+\bar z|=|2Re(z)|$$

$$|z-\bar z|=|2Im(z)|$$

por lo que el locus $$|2x|=|2y|\iff|x|=|y|$$

es correcto.

De hecho, también podemos escribir

$\left|\frac{z+\bar z}2\right|=\left|z-\frac{z-\bar z}2\right| \equiv$ distancia de z al eje y

$\left|\frac{z-\bar z}2\right|=\left|z-\frac{z+\bar z}2\right|\equiv$ distancia de z al eje x

por lo que los lugares que buscamos son las bisectrices.