¿Siempre es de primera? $n^2+n+41$

Question

Dejemos que $S=n^2+n+41$ . Si lo intentas con $n=1, 2, 3, \dots, 39$ , $S$ es siempre primo. Pero si $n=40, 41$ , $S$ es compuesto. Por lo tanto, hay infinitos enteros positivos $n$ , de tal manera que $S$ es compuesto.

Mi pregunta es: ¿Existen infinitos enteros positivos $n$ , de tal manera que $S$ es compuesto, pero no es divisible por 41?

Answer 1

Una rápida lectura de factordb.com le indicará la dirección correcta.

Fíjate en que el número 44 es 2021, el producto de 43 y 47.

Fíjate en que el número 84 es 7181, el producto de 43 por 167.

Observe que el número 87 es 7697, el producto de 43 y 179.

Observe que el número 127 es 16297, el producto de 43 y 379.

Fíjate que el número 130 es el 17071... lo que quiero decir es que hay múltiplos de 43 a lo largo de esta secuencia, cada par bastante cercano entre sí y separado del siguiente par por unos cuarenta números.

Veo que las armas más rápidas también eligieron el 43. Pero hay patrones similares que se encuentran con primos como 47, 61, 71, etc.

Answer 2

Dejemos que $f(n)=n^2+n+41$ . Entonces $f(1)\equiv0\pmod{43}$ . Si $n\equiv1\pmod{43}$ entonces $f(n)\equiv0\pmod{43}$ . Hay infinidad de ellos $n$ no divisible por $41$ .

Answer 3

Un boceto:

Supongamos que $p$ es un factor de $n^2+n+41$ para algunos $n$ . Entonces $p$ también es un factor de $(n+p)^2+(n+p)+41$ ya que estas expresiones son iguales módulo $p$ .

Por lo tanto, si puede encontrar algún $p\not=41$ que divide $n^2+n+41$ para algunos $n$ Entonces la pregunta es verdadera. Por ejemplo, utilice $n=1$ y $p=43$ .

Answer 4

Ahora $S(1)=43$ y $$S(1+43)=(1+43)^2+(1+43)+41=S(1)+2\times 43 +43^2+43=47\times 43$$ Esto es divisible por $43$ por diseño, y tampoco por $41$ . Estoy seguro de que se puede adaptar esto (y el módulo de análisis $41$ ) para mostrar lo que necesita.

Answer 5

Sacando un conejo de la chistera, observe (o compruebe) que

$$8652\equiv \begin{cases} 1\mod41\\ 163\mod653 \end{cases}$$

y

$$163^2+163+41=163\cdot164+41=163\cdot4\cdot41+41=653\cdot41\equiv0\mod653$$

por lo que si dejamos que $n=(41\cdot653)k+8652=26773k+8652$ entonces para cualquier $k$ tenemos

$$S=n^2+n+41\equiv\begin{cases}1+1+0\not\equiv0\mod41\\ 163^2+163+41\equiv0\mod653 \end{cases}$$

por lo que todos estos valores de $S$ son compuestos, ya que son divisibles por (y estrictamente mayores que) $653$ pero no divisible por $41$ .